Матриця Гессеквадратна матриця елементами якої є часткові похідні деякої функції. Поняття було введене Людвігом Отто Гессе (1844), який використовував іншу назву. Термін матриця Гессе був введений Джеймсом Джозефом Сильвестром.

ВизначенняРедагувати

Формально, нехай дано дійсну функцію від n змінних:

 

якщо у функції f існують всі похідні другого порядку, то можна визначити матрицю Гессе для цієї функції:

 

де   тобто  

Визначник цієї матриці називається визначником Гессе, або гессіаном.

Значення матриці Гессе пояснюється її появою у формулі Тейлора:

 

Матриці Гессе використовуються в задачах оптимізації методом Ньютона. Повне обчислення матриці Гессе може бути досить складним, тому були розроблені квазіньютонівські алгоритми, засновані на наближених виразах для матриці Гессе. Найвідоміший з них — алгоритм Бройдена - Флетчера - Гольдфарба - Шанно.

Симетрія матриці ГессеРедагувати

Мішані похідні функції f — це елементи матриці Гессе, що стоять не на головній діагоналі. Якщо вони неперервні, то порядок диференціювання не важливий:

 

Це можна також записати як

 

В цьому випадку матриця Гессе є симетричною.

Критичні точки функціїРедагувати

Якщо градієнт   (її векторна похідна) рівний нулю в деякій точці  , то ця точка називається критичною.

  • Якщо матриця Гессе є додатно визначеною в точці  , то   — точка локального мінімуму функції  .
  • Якщо матриця Гессе є від'ємно визначеною в точці  , то   — точка локального максимуму функції  .
  • Якщо матриця Гессе не є ні додатно визначеною, ні від'ємно визначеною, причому є невиродженою (тобто  ), то  сідлова точка функції  .

Обрамлена матриця ГессеРедагувати

У випадку оптимізації з додатковими умовами виникає також поняття обрамленої матриці Гессе. Нехай знову маємо функцію:

 

але тепер також розглянемо умови:

 

При оптимізації функції f з додатковими умовами обрамлена матриця Гессе має вигляд:

 

Для даної матриці можна сформувати різні головні мінори. Позначимо   — головний мінор матриці, для якого останнім елементом на головній діагоналі є   Тоді можна сформувати достатні умови екстремуму для функції при виконанні обмежень.

Функція буде мати максимум при виконанні умов, якщо знаки послідовних n - m мінорів   будуть чергуватися, при чому знак   буде рівний  

Функція буде мати мінімум при виконанні умов, всі послідовні n - m мінорів   мають один знак, а саме  

Варіації і узагальненняРедагувати

Якщо f — векторзначна функція, тобто

 

то її другі часткові похідні утворюють не матрицю, а тензор рангу n+1.

ЛітератураРедагувати

  • Кудрявцев Л.Д. «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с.
  • Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, third edition, McGraw-Hill, 1984.
  • Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006), Numerical Optimization (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-30303-1