Критична точка (математика)

Критичною точкою диференційовної функції , де  — область в , називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють 0. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої -гладкої функції має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень , і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді . У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення у ній менший максимального можливого (що дорівнює ).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

Формальне визначенняРедагувати

Критичною точкою (або особливою точкою, або стаціонарною точкою) неперервно диференційовної функції (відображення)   називається така точка  , в котрій диференціал   є виродженим лінійним перетворенням відповідних дотичних просторів в точках   і  , тобто розмірність образу   менша  . В координатному записі це значить що ранг матриці Якобі функції  , складеної із всіх часткових похідних       менший свого максимально можливого значення  .

Простори   і   в цьому визначенні можуть бути замінені на многовиди   і   таких же розмірностей.

Випадок Редагувати

У разі   дане визначення означає, що градієнт   у даній точці перетворюється в нуль. У найпростішому випадку   це означає, що похідна   у даній точці дорівнює нулю.

Критична точка називається невиродженою, якщо в ній гессіан   відмінний від нуля. Якщо   має клас гладкості не нижче  , то в околиці невиродженої критичної точки існують координати, в яких функція   має квадратичну нормальну форму (лема Морса).

При   має сенс питання про максимум і мінімумі функції. Відповідно до відомого твердженням математичного аналізу, безперервно диференційовна функція  , визначена у всьому просторі   або у його відкритій підмножині, може досягати локального максимуму (мінімуму) тільки в критичних точках, причому якщо точка невироджена, то матриця     у ній повинна бути від'ємно (додатно) визначена. Останнє є також достатньою умовою локального максимуму (мінімуму).

ЛітератураРедагувати

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, (рос.) — будь-яке видання.
  • Зорич В. А. Математический анализ, (рос.) — будь-яке видання.
  • Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, (рос.) — будь-яке видання.

ДодатковоРедагувати