Тест другої часткової похідної

Тест другої часткової похідної — метод використовуваний для визначення чи є критична точка функції максимумом, мінімумом чи сідловою точкою.

Тест

ред.

Функція від двох змінних

ред.
Гессіан дає наближення для функції у критичній точці за допомогою многочлена другого степеня.

Припустимо, що f(x, y) — диференційовна дійснозначима функція двох змінних чиї часткові похідні існують. Матриця Гессе H для f це 2 × 2 матриця часткових похідних f:

 .

Нехай D(x, y) буде її визначником:

 .

Насамкінець, припустимо що (a, b) це критична точка f (тобто, fx(a, b) = fy(a, b) = 0). Тоді тест другої часткової похідної стверджує таке:[1]

  1. Якщо   і   тоді   є локальним мінімумом f.
  2. Якщо   і   тоді   є локальним максимумом f.
  3. Якщо   тоді   є сідловою точкою f.
  4. Якщо   тоді тест другої похідної не є достатним, і точка (a, b) може бути мінімумом, максимумом або сідловою точкою.

Обґрунтування

ред.

Скористаємось розкладенням у ряд Тейлора:

 

У критичній точці

     
   

Очевидно, що ми уникаємо точки   інакше це не спрацює. Тепер введемо заміну   маємо

 

Оскільки   знак   повністю визначає знак  

Допоміжна лема

ред.

Розглянемо квадратичну   функцію  

  1. Якщо   і   або   тоді   для всіх  
  2. Якщо   і   або   тоді   для всіх  
  3. Якщо   тоді існують значення   такі, що   і такі, що  

У виродженому випадку потрібен додатковий тест за допомогою вищих похідних.

Заувага, глобальний мінімум чи максимум функції не завжди є у критичній точці. Слід перевірити границі й нескінченність.

Доведення:

  1. Нехай   Якщо   тоді   що означає, що   для деякого   З іншого боку, якщо   тоді   отже знов, ми знаємо, що існує   коли   Якщо   і набуває від'ємних значень, то виходить, що   мусить десь обертатись у нуль. Ми можемо знайти коріні квадратного рівняння, тобто значення   де  
     
      це значить, що   тому значення  , отримані з цієї формули, не є дійсними (бо містять ненульову уявну частину). Це означає, що   ніколи не обертається на нуль для будь-якого   отже   ніколи не перетинає вісь   тому  
  2. Цей випадок майже ідентичний попередньому.
  3. Якщо   то   перетинає вісь   двічі, тобто вона має як додатні так і від'ємні значення.

Примітки

ред.

Див. також

ред.

Посилання

ред.
  • Weisstein, Eric W. Тест другої часткової похідної(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Доведення тесту[недоступне посилання з липня 2019] (англ.)