Тест другої похідної

Тест другої похідної — критерій для визначення коли критична точка дійсно значимої функції від однієї змінної є локальним максимумом чи мінімумом через використання другої похідної в точці.

Твердження: якщо функція f двічі диференційовна в критичній точці x (тобто f'(x) = 0), тоді:

  • Якщо тоді має локальний максимум у .
  • Якщо тоді має локальний мінімум у .
  • Якщо , тест непереконливий.

В останньому випадку, щоб визначити поведінку функції f поблизу x через вищі похідні можна використати теорему Тейлора

ДоведенняРедагувати

Припустимо ми маємо   (доведення для   аналогічне). Згідно з умовою,  . Тоді

 

Отже, для достатньо малого h маємо

 

що значить   якщо h < 0 (інтуїтивно, f спадає по тому як наближається до x зліва), і   якщо h > 0 (інтуїтивно, f зростає як ми йдемо праворуч від x). Тепер з теореми Ферма,   має локальний мінімум у  .

Тест угнутостіРедагувати

Споріднене, але відмінне використання другої похідної полягає у визначені чи функція опукла або угнута в точці. Однак вона не надає інформації про точки перегину. Конкретно, двічі диференційовна функція f є опуклою якщо   і угнутою якщо  . Зауважте, що якщо  , тоді   має нульову другу похідну і не є при цьому точкою перегину, тобто друга похідна не забезпечує нас достатньою інформацією для визначення чи є точка перегином.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати