Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Нехай — функція класу , де , визначена у випуклому околі точки . Тоді існують такі функції класу , визначені в , що для всіх має місце рівність

Якщо функція — аналітична, то й функції у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулюванняРедагувати

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Нехай   — функція класу  , де  , визначена на випуклому околі   точки  , при цьому   і  . Тоді існують такі функції   класу  , визначені в  , що для всіх   має місце рівність

 

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію  , де   — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай   пробігає значення з відрізку  , тоді функція  , що розглядається як функція   при кожному фіксованому значенні параметра  , пробігає в просторі функцій від   змінних деяку криву з кінцями   и  .

Розглядаючи   як функцію змінної  , залежну від параметрів   і  , і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

 

де

 

Необхідна гладкість функцій   випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

ЗастосуванняРедагувати

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

  • За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.
  • Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції   обертається в нуль на гіперплощині  , то його можна подати у вигляді   де   — деяка гладка функція.
  • Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції   має місце подання   де   і   — гладкі функції.
  • Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:
 

де   и   — гладкі функції та   — довільне натуральне число.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати