Відкрити головне меню

В рімановій геометрії, секційна кривина є однією із кривин ріманового многовиду. Секційна кривина Kp) залежить від вибору двовимірної площині σp в дотичному просторі в точці p. У двовимірному рімановому многовиді секційна кривина збігається з гаусовою кривиною.

Секційна кривина повністю визначається тензором кривини.

ВизначенняРедагувати

Для ріманового многовиду та двох лінійно незалежних дотичних векторів X і Y в точці p ( )

 

Тут R — тензор кривини Рімана. В локальних координатах[1]

 

де бівектор  .

Секційна кривина залежить від вибору двовимірної площини, але не залежить від векторів X і Y, які визначають цю площину.

Зокрема, якщо X і Y ортонормовані, то

 

Теорема Топоногова про порівняння кутівРедагувати

Нехай в повному рімановому многовиді M всі секційні кривини  . Тоді для будь-якого геодезичного трикутника   в M знайдеться на  -площині такий геодезичний трикутник   з тими ж довжинами сторін, що і у трикутника  , у якого кожний з кутів не буде перевищувати відповідного йому кута трикутника  [2].

Під  -площиною мається на увазі двовимірний многовид сталої кривини   — площина Лобачевського, сфера або евклідова площина.

ПриміткиРедагувати

  1. Борисенко, О. А. (1995). Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. Харків: Основа. с. 213. ISBN 5-7768-0388-8. 
  2. Топоногов В.А., Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу, Успехи математических наук. 1959. Том 54, №1, с. 87-130