Домножимо формулу (3) скалярно на , i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: . В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:
або після зміни знаку і перейменування індексів:
Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси і переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів і за другою парою індексів (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):
Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів з другою парою індексів (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):
Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу , який називається тензором Річчі:
Тензор Річчі симетричний:
Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:
Враховуючи (4), маємо:
Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс у формулі (1):
Оскільки комутатор коваріантних похідних діє на добуток тензорів за правилом диференціального оператора:
то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.
Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:
Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):
Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:
Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.
Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:
Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора -рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:
Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.
Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:
При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів , причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:
Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:
Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.
Кількість лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини
Якщо — розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:
Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:
Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу :
(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли )
Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:
Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів формулу:
а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з по 2, тобто:
Зв'язок з іншими властивостями внутрішньої кривини
Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів :
Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку
і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.
В точці ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці (див. статтю Майже декартові координати в точці многовида). Тоді для коваріантних похідних в точці маємо:
Оскільки
то в точці маємо:
Циклічно переставляючи в (4) індекси одержимо ще дві рівності:
Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.
Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці ), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора , а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:
Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:
Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:
то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.
Якщо , то можна побудувати декартову систему координат
Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.
Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою (взагалі-то кількість базисних векторів , і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).
Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки , в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору . Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:
яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:
З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:
Тепер, оскільки
То вектор є градієнтом деякої скалярної функції :
Функцію в якійсь точці області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат і точку :
причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).
Функція і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:
Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:
в якійсь точці многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:
Тепер домножимо (10) на добуток , одержимо:
Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.