Тензор Рімана (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

Деякі тотожності

ред.
 

Замість коваріантних компонент   можна підставити базисні вектори  :

 

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів   дорівнює векторам повної кривини   (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

 

Домножимо формулу (3) скалярно на  , i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду:  . В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

 
 
 

або після зміни знаку і перейменування індексів:

 

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси   і   переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів   і за другою парою індексів   (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

 

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів   з другою парою індексів   (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини   симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

 

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу  , який називається тензором Річчі:

 

Тензор Річчі симетричний:

 

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

 

Враховуючи (4), маємо:

 

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс   у формулі (1):

 

Оскільки комутатор коваріантних похідних   діє на добуток тензорів   за правилом диференціального оператора:

 

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

 


Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі:

Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів  ):

 

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів  ):

 

Алгебраїчна тотожність Біанкі

ред.

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

 

яка називається алгебраїчною тотожністю Біанкі.

Варіанти запису алгебраїчної тотожності Біанкі

ред.

Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):

 

Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:

 

Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.

Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:

 

Підготовка доведення

ред.

Нехай ми маємо величину з трьома індексами   яка симетрична по двох індексах (наприклад по двох перших індексах):

 

З неї ми можемо скласти іншу величину, яка буде антисиметрична по останніх двох індексах, за наступною формулою:

 

Тоді легко перевірити, що сума компонент   при циклічних перестановках індексів дорівнює нулю:

 

Цей хід викладок не зміниться, якщо величина   матиме більшу кількість індексів, які проте в перестановках не беруть участі.

Доведення виходячи із представлення через символи Крістофеля

ред.

Запишемо тензор Рімана через символи Крістофеля:

 

Якщо ми позначимо:

 

то

 

і рівність (4) збігається з алгебраїчною тотожністю Біанкі (1).

Доведення виходячи із представлення через вектори повної кривини

ред.

Запишемо тензор Рімана:

 

В цьому випадку

 

а далі все аналогічно попереднім викладкам.

Доведення через коваріантні похідні

ред.

Нехай и маємо довільне скалярне поле  . Введемо наступні позначення для коваріантних похідних цього поля першого та другого порядку:

 
 

Зазначимо, що друга похідна є симетричним тензором внаслідок перестановочності частинних похідних та симетрії символів Крістофеля.

Тоді згортка тензора Рімана з градієнтом   дорівнює:

 

В цьому випадку:

 

і ми одержуємо тотожність:

 

Оскільки функція   довільна, ми можемо взяти її рівній одній з координат (  — фіксований індекс):

 

Підставляючи (15) в (14) одержуємо (з точністю до позначень індексів) алгебраїчну тотожність Біанкі (1).

Антисиметризація тензора Рімана

ред.

Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора    -рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:

 

Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.

Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:

 

При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів  , причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:

 

Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:

 

Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.

Кількість лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини

ред.

Якщо   — розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:

 

Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:

 

Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу  :

 

(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли  )

Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:

 

Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів   формулу:

 

а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з   по 2, тобто:

 

Зв'язок з іншими властивостями внутрішньої кривини

ред.

Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів  :

 

Також з алгебраїчною тотожністю Біанкі пов'язана можливість альтернативного погляду на внутрішню кривину через Симетричний тензор внутрішньої кривини.


Диференціальна тотожність Біанкі

ред.

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

 

яка називається диференціальною тотожністю Біанкі.

Доведення з використанням спеціальної системи координат

ред.

Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку   і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка   довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.

В точці   ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці   (див. статтю Майже декартові координати в точці многовида). Тоді для коваріантних похідних в точці   маємо:

 

Оскільки

 

то в точці   маємо:

 

Циклічно переставляючи в (4) індекси   одержимо ще дві рівності:

 
 

Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.

Існування декартової системи координат

ред.
Якщо існує декартова система координат, то  

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці  ), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора  , а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

 

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

 

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

 

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.

Якщо  , то можна побудувати декартову систему координат

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку   в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою   (взагалі-то кількість базисних векторів  , і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки  , в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору  . Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

 

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

 

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

 

Тепер, оскільки

 

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції  :

 

Функцію   в якійсь точці   області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат   і точку  :

 

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція   і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

 

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

 

тобто координати   є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору

ред.

Розглянемо рівність:

 

в якійсь точці   многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

 
 

Тепер домножимо (10) на добуток  , одержимо:

 

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також

ред.

Література

ред.