Тензором кручення в диференціальній геометрії називається векторозначний тензор, що кожній парі векторних полів класу , заданих на деякому гладкому многовиді з введеною афінною зв'язністю присвоює векторне поле класу . Разом із тензором кривини тензор кручення є одним з головних інваріантів афінної зв'язності. Зокрема тензор кручення відіграє дуже важливу роль у вивченні геометрії геодезичних ліній на многовидах.

Означення ред.

За допомогою афінної зв'язності ред.

Нехай   є диференційовним многовидом разом з визначеною на ньому афінною зв'язністю  . Тензор кручення   задається як векторозначне тензорне поле, що визначається рівністю:

 

Тут   — векторні поля, а  дужки Лі.

За допомогою диференціальних форм ред.

Нехай векторні поля   є локальним базисом із  -векторних полів дотичного розшарування   для деякої відкритої підмножини   і   є двоїстими  -диференціальними формами. Для афінної зв'язності   позначимо   диференціальні форми для яких

 

Тоді   є теж диференційовними формами класу  .

Задамо також векторозначний тензор   через його компоненти як   де   є дійснозначними тензорами аргументами яких є вектори (в якійсь точці) чи векторні поля (для усієї множини  ).

Тоді   із компонентами   є тензором кручення тоді і тільки тоді коли виконуються рівності

 

де   позначає зовнішню похідну диференційної форми, а  зовнішній добуток диференціальних форм.

Відповідно, якщо   є довільними гладкими диференціальними формами на  , то вони задають афінну зв'язність і для цієї зв'язності задані вище   є компонентами тензора кручення.

Через компоненти в локальних координатах ред.

Нехай векторні поля   є локальним базисом із  -векторних полів дотичного розшарування   для деякої відкритої підмножини   .

Нехай   позначає компоненти тензора кручення, так що   або використовуючи позначення вище  .

Позначимо також   — символи Крістофеля (тобто, наприклад,   і  ) і коефіцієнти  , що одержуються із розкладу для дужок Лі  .

Компоненти   тензора кручення в локальних координатах запишуться через формулу:

 

. Якщо локальним базисом є, наприклад координатний базис, то   і для компонент тензора кручення справедлива формула:

 

Відповідно якщо символи Крістофеля задають афінну зв'язність, то   визначені як вище є компонентами відповідного тензора кручення.

Властивості ред.

З властивостей афінних зв'язностей і дужок Лі одразу одержуються наступні властивості тензора кручень:

  • Тензор кручення є кососиметричним, тобто:  
  • Тензор кручення є білінійним:  
  • Для довільної гладкої на многовиді функції f:  

Геодезичні лінії і різниці зв'язностей ред.

Нехай γ(t) є кривою на многовиді M із афінною зв'язністю ∇. Тоді γ називається геодезичною лінією для ∇ якщо

 

для всіх t із області визначення γ. Тут   задає векторне поле вздовж кривої γ. Кожна геодезична лінія однозначно задається дотичним вектором   у початковій точці t = 0.

Дві афінні зв'язності ∇ і ∇′ мають одні і ті ж геодезичні лінії тоді і лише тоді коли вони умовно кажучи відрізняються лише тензором кручення.

Більш формально нехай X і Y є векторними полями в околі точки pM і

 

є різницею двох зв'язностей. У точці p Δ залежить лише від значень X і Y у p, тож загалом Δ є тензором на M. Нехай S і A є симетричною і кососиметричною частиною Δ:

 
 

Тоді

  •   є різницею тензорів кручень двох зв'язностей.
  • Зв'язності ∇ і ∇′ мають однакові геодезичні лінії якщо і тільки якщо S(X, Y) = 0. Еквівалентним твердженням є те, що для всіх векторів X із дотичного розшарування TM виконується рівність Δ (X, X) = 0.

Відповідно симетрична частина різниці зв'язностей визначає чи мають вони однакові геодезичні лінії. Якщо всі геодезичні лінії є однаковими то різниця між зв'язностями повністю визначається різницею між їх тензорами кручення. Зокрема якщо дві зв'язності мають однакові геодезичні лінії і тензори кручення то вони є однаковими.

Також у кожному класі зв'язностей із однаковими геодезичними лініями завжди існує зв'язність для якої тензор кручення є нульовим.

Зв'язок з тензором кривини і тотожності Біанкі ред.

Тензором кривини афінної зв'язності ∇ називається відображення TM × TM → End(TM), що кожній парі векторних полів X, Y присвоює лінійне перетворення, дія якого на векторному полі Z визначається як:

 

Значення тензора кривини, як і тензора кручень в кожній точці залежить лише від значення векторів у цій точці, а не всіх векторних полів. Нехай   позначає циклічну суму по X, Y, and Z. Наприклад:

 

Тензори кривини і кручень пов'язані такими рівностями, що називаються тотожностями Біанкі:

1. Перша тотожність Біанкі:

 

2. Друга тотожність Біанкі:

 

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105.  (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)