Диференціальна тотожність Біанкі

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

$(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=0$

яка називається диференціальною тотожністю Біанкі.

Доведення з використанням спеціальної системи координат

Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку $P$ і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка $P$ довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.

В точці $P$ ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці $P$ (див. статтю Майже декартові координати в точці многовида). Тоді для коваріантних похідних в точці $P$ маємо:

$(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}$

Оскільки

$(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p}$

то в точці $P$ маємо:

$(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}$

Циклічно переставляючи в (4) індекси $ijk$ одержимо ще дві рівності:

$(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s}$

$(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}$

Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.