Розклад Річчі

У псевдорімановій геометрії розклад Річчі — це розклад тензора кривини Рімана на незвідні щодо ортогональної групи тензорні частини. Цей розклад відіграє важливу роль у рімановій і псевдорімановій геометрії.

Складові частини тензора Рімана

Розклад виглядає так:

$R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.$

Його елементами є:

1. скалярна частина $S_{abcd}$,
2. напівбезслідова частина $E_{abcd}$,
3. повністю безслідова частина, має спеціальну назву тензор Вейля, $C_{abcd}$.

Кожен елемент має ті ж симетрії, що й тензор кривизни, але також володіє специфічними алгебраїчними властивостями.

Скалярна частина

$S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)}}\,H_{abcd}$

залежить тільки від скалярної кривини $R={R^{m}}_{m}$ ($R_{ab}$ — тензор Річчі), і метричного тензора $g_{ab}$, який комбінується таким чином, щоб дати тензор $H_{abcd}$ з симетрією тензора кривизни:

$H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.$

Напівбезслідова частина

$E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd}\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\right)$

виходить аналогічним чином з безслідової частини тензора Річчі

$S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R$

і метричного тензора $g_{ab}$.

Тензор Вейля повністю безслідовий у тому сенсі, що його згортка за будь-якою парою індексів дає нуль. Герман Вейль показав, що цей тензор вимірює відхилення псевдоріманового многовиду від конформно-плоского: якщо він звертається в нуль, то многовид локально конформно-еквівалентний плоскому многовиду.

Цей розклад — чисто алгебраїчний і не включає в себе ніяких диференціювань.

У разі Лоренцевого 4-мірного многовиду (наприклад, простору-часу) тензор Ейнштейна $G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R$ має слід, рівний скалярній кривині з протилежним знаком, так що безслідові частини тензора Ейнштейна та тензора Річчі збігаються

$S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,G.$

Зауваження щодо термінології: позначення $R_{abcd},\,C_{abcd}$ — стандартні, $S_{ab},\,E_{abcd}$ — широко поширені, але не загальноприйняті, а тензори $S_{abcd}$ і $H_{abcd}$ не мають усталених позначень.