У псевдорімановій геометрії розклад Річчі — це розклад тензора кривини Рімана на незвідні щодо ортогональної групи тензорні частини. Цей розклад відіграє важливу роль у римановій і псевдорімановій геометрії.

Складові частини тензора РіманаРедагувати

Розклад виглядає так:

 

Його елементами є:

  1. скалярна частина  ,
  2. напівбезслідова частина  ,
  3. повністю безслідова частина, має спеціальну назву тензор Вейля,  .

Кожен елемент має ті ж симетрії, що й тензор кривизни, але також володіє специфічними алгебраїчними властивостями.

Скалярна частина

 

залежить тільки від скалярної кривини   (  — тензор Річчі), і метричного тензора  , який комбінується таким чином, щоб дати тензор   з симетрією тензора кривизни:

 

Напівбезслідова частина

 

виходить аналогічним чином з безслідової частини тензора Річчі

 

і метричного тензора  .

Тензор Вейля повністю безслідовий у тому сенсі, що його згортка за будь-якою парою індексів дає нуль. Герман Вейль показав, що цей тензор вимірює відхилення псевдоріманового многовиду від конформно-плоского: якщо він звертається в нуль, то многовид локально конформно-еквівалентний плоскому многовиду.

Цей розклад — чисто алгебраїчний і не включає в себе ніяких диференціювань.

У разі Лоренцевого 4-мірного многовиду (наприклад, простору-часу) тензор Ейнштейна   має слід, рівний скалярній кривині з протилежним знаком, так що безслідові частини тензора Ейнштейна та тензора Річчі збігаються

 

Зауваження щодо термінології: позначення   — стандартні,   — широко поширені, але не загальноприйняті, а тензори   і   не мають усталених позначень.