Фуксова модель

подання гіперболічної ріманової поверхні

Фуксова модель — це подання гіперболічної ріманової поверхні R як фактор-поверхні верхньої півплощини H за фуксовою групою. Будь-яка гіперболічна ріманова поверхня дозволяє таке подання. Концепцію названо іменем Лазаруса Фукса.

Точніше визначення ред.

За теоремою уніформізації будь-яка ріманова поверхня є еліптичною, параболічною[en] або гіперболічною. Точніше, ця теорема стверджує, що ріманова поверхня  , яка не ізоморфна або рімановій сфері (в еліптичному випадку), або фактор-поверхні комплексної поверхні за дискретною підгрупою (у параболічному випадку), повинна бути фактор-поверхнею гіперболічної площини   за підгрупою  , що діє цілком розривно та вільно.

У моделі Пуанкаре у верхній півплощині для гіперболічної площини група біголоморфних перетворень[en] є групою  , що діє гомографією, а теорема уніформізації означає, що існує дискретна підгрупа без скруту  , така, що ріманова поверхня   ізоморфна  . Таку групу називають фуксовою групою, а ізоморфізм   — фуксовою моделлю для  .

Фуксові моделі та простір Тейхмюллера ред.

Нехай   — замкнена гіперболічна поверхня і нехай   — фуксова група, така, що   є фуксовою моделлю для  . Нехай

 .

Тут   — множина всіх   ефективних та дискретних подань із топологією, породженою точковою збіжністю (іноді званою «алгебричною збіжністю»)[1]. У цьому випадку топологію найпростіше визначити так: група   є скінченнопородженою[en] оскільки вона ізоморфна фундаментальній групі  . Нехай   — породжувальна множина, тоді будь-яке   визначається елементами   і можна ототожнити   з підмножиною   відображенням  . Тим самим ми задамо топологію підпростору.

Теорема Нільсена про ізоморфізм (це не стандартна термінологія і цей результат не пов'язаний безпосередньо з теоремою Дена — Нільсена[en]) тоді стверджує таке[2]:

Для будь-якого подання   існує автогомеоморфізм (фактично, квазіконформне відображення[en])   верхньої півплощини  , таке, що   для будь-кого  .

Доведення дуже просте — виберемо гомеоморфізм   і піднімемо його на гіперболічну площину. Взяття дифеоморфізму дає квазіконформне відображення, оскільки   компактна.

Це можна розглядати як еквівалентність між двома моделями для простору Тайхмюллера  [1] — множини дискретних ефективних подань фундаментальної групи  [3] у класи суміжності   і множини відмічених ріманових поверхонь  , де   — квазіконформний гомеоморфізм природного відношення еквівалентності.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. а б Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12.
  2. Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12, Theorem 0.17.
  3. Множину гомотопічних класів петель із добутком петель із точки   простору   називають фундаментальною групою з відміченою точкою   і позначають  . Якщо   — лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки і для таких просторів можна писати   замість  . Див. Фундаментальна група

Література ред.

  • Matsuzaki K., Taniguchi M. Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. — Oxford university press, 1998. — ISBN 0-19-850062-9.