Фуксова модель

Фуксова модель — це подання гіперболічної ріманової поверхні R як фактор-поверхні верхньої півплощини H за фуксовою групою. Будь-яка гіперболічна ріманова поверхня дозволяє таке подання. Концепцію названо іменем Лазаруса Фукса.

Точніше визначення

За теоремою уніформізації будь-яка ріманова поверхня є еліптичною, параболічною або гіперболічною. Точніше, ця теорема стверджує, що ріманова поверхня $R$, яка не ізоморфна або рімановій сфері (в еліптичному випадку), або фактор-поверхні комплексної поверхні за дискретною підгрупою (у параболічному випадку), повинна бути фактор-поверхнею гіперболічної площини $\mathbb {H}$ за підгрупою $\Gamma$, що діє цілком розривно та вільно.

У моделі Пуанкаре у верхній півплощині для гіперболічної площини група біголоморфних перетворень є групою $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$, що діє гомографією, а теорема уніформізації означає, що існує дискретна підгрупа без скруту $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$, така, що ріманова поверхня $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ ізоморфна $R$. Таку групу називають фуксовою групою, а ізоморфізм $R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H}$ — фуксовою моделлю для $R$.

Фуксові моделі та простір Тейхмюллера

Нехай $R$ — замкнена гіперболічна поверхня і нехай $\Gamma$ — фуксова група, така, що $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ є фуксовою моделлю для $R$. Нехай

$A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\}$.

Тут $A(\Gamma )$ — множина всіх $\rho$ ефективних та дискретних подань із топологією, породженою точковою збіжністю (іноді званою «алгебричною збіжністю»). У цьому випадку топологію найпростіше визначити так: група $\Gamma$ є скінченнопородженою оскільки вона ізоморфна фундаментальній групі $R$. Нехай $g_{1},\ldots ,g_{r}$ — породжувальна множина, тоді будь-яке $\rho \in A(\Gamma )$ визначається елементами $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})$ і можна ототожнити $A(G)$ з підмножиною $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}$ відображенням $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))$. Тим самим ми задамо топологію підпростору.

Теорема Нільсена про ізоморфізм (це не стандартна термінологія і цей результат не пов'язаний безпосередньо з теоремою Дена — Нільсена) тоді стверджує таке:

Для будь-якого подання $\rho \in A(G)$ існує автогомеоморфізм (фактично, квазіконформне відображення) $h$ верхньої півплощини $\mathbb {H}$, таке, що $h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )$ для будь-кого $\gamma \in G$.

Доведення дуже просте — виберемо гомеоморфізм $R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H}$ і піднімемо його на гіперболічну площину. Взяття дифеоморфізму дає квазіконформне відображення, оскільки $R$ компактна.

Це можна розглядати як еквівалентність між двома моделями для простору Тайхмюллера $R$ — множини дискретних ефективних подань фундаментальної групи $\pi _{1}(R)$ у класи суміжності $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ і множини відмічених ріманових поверхонь $(X,f)$, де $f\colon R\to X$ — квазіконформний гомеоморфізм природного відношення еквівалентності.

Див. також

• Модель Кляйна, аналогічна побудова для 3D-многовидів
• Фундаментальний многокутник

Література

• Matsuzaki K., Taniguchi M. Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. — Oxford university press, 1998. — ISBN 0-19-850062-9.