Теорема Лефшеца про нерухому точку

Теорема Лефшеца про нерухому точку — результат у алгебричній топології про існування нерухомих точок неперервного відображення в себе для досить широких класів топологічних просторів.

Число Лефшеца

Нехай $X$— зв'язний компактний орієнтовний топологічний многовид або скінченний CW-комплекс (зокрема поліедр — простір гомеоморфний скінченному симпліційному комплексу). У цих випадках сингулярні гомологічні групи $H_{*}(X,\mathbb {Q} )$ (для поліедрів еквівалентно симпліційні гомологічні групи) над полем $\mathbb {Q}$ є скінченновимірними векторними просторами. Нехай $C_{n}(X,\mathbb {Q} ),Z_{n}(X,\mathbb {Q} ),B_{n}(X,\mathbb {Q} ),H_{n}(X,\mathbb {Q} )$ — стандартні позначення для n-их компонент елементів відповідних ланцюгових комплексів, циклів, границь і гомологічних груп (деталі у статті Ланцюговий комплекс).

Якщо $f:X\to X$ — неперервне відображення, то воно задає лінійні відображення $f_{*}^{n}:H_{n}(X,\mathbb {Q} )\to H_{n}(X,\mathbb {Q} )$ Нехай $\mathrm {Tr} (f_{*}^{n})$ — слід лінійного перетворення.

За означенням, числом Лефшеца відображення $f$ називається число

$\Lambda _{f}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}\mathrm {Tr} (f_{*}^{n}).$

Властивості числа Лефшеца

• Якщо функції f і g є гомотопно еквівалентними, то $\Lambda _{f}=\Lambda _{g}.$

• У випадку, наприклад, скінченного симпліційного комплексу число Лефшеца можна ввести в інший спосіб. Тоді відображення $f:X\to X$ задає лінійні відображення $f_{n}:S_{n}(X,\mathbb {Q} )\to S_{n}(X,\mathbb {Q} )$ на скінченновимірних просторах $S_{n}(X,\mathbb {Q} ),$ елементи базиса яких є у бієктивній відповідності із n-симплексами симпліційного комплексу. Відображення $f_{n}$ одержуються, наприклад композицією відображень $f_{n}:C_{n}(X,\mathbb {Q} )\to C_{n}(X,\mathbb {Q} )$ на сингулярному комплексі із ланцюговими відображеннями, що задають еквівалентність симпліційних і сингулярних гомологій. Тоді:

$\Lambda _{f}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}\mathrm {Tr} (f_{n}).$

Нижче цикли, границі і гомології подані для симпліційного випадку. Для доведення позначимо відображення $f_{n}':B_{n}(X,\mathbb {Q} )\to B_{n}(X,\mathbb {Q} )$ і ${\bar {f}}_{n}:S_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )\to S_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )$. Із елементарних властивостей сліду лінійних відображень над скінченновимірними векторними просторами випливає, що $\mathrm {Tr} (f_{n})=\mathrm {Tr} (f_{n}')+\mathrm {Tr} (f_{*}^{n})+\mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})$. Але граничний гомоморфізм $\partial$ задає ізоморфізми ${\bar {\partial }}_{n}:C_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )\to B_{n-1}(X,\mathbb {Q} )$ і ${\bar {f}}_{n}={\bar {\partial }}_{n}^{-1}\circ f_{n}'\circ {\bar {\partial }}_{n}$, а тому $\mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})=\mathrm {Tr} (f_{n-1}')$. Остаточний результат одержується підстановкою виразу $\mathrm {Tr} (f_{*}^{n})$ через $\mathrm {Tr} (f_{n}),\mathrm {Tr} (f_{n}')$ і $\mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})$ у формулу числа Лефшеца і скороченням $\mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})$ і $\mathrm {Tr} (f_{n-1}'),$ які будуть мати різні знаки.

• Якщо у випадку скінченного симпліційного комплексу взяти $f=1_{X}$ (одиничне відображення на просторі $X$) то $1_{*}^{n}:H_{n}(X,\mathbb {Q} )\to H_{n}(X,\mathbb {Q} )$ є одиничними відображеннями на гомологічних групах і $\mathrm {Tr} (1_{n})$ є рівним кількості симплексів розмірності n (оскільки сингулярні і симпліційні гомології у цьому випадку є еквівалентними). Тому $\Lambda _{1_{X}}=\chi (X)$, тобто число Лефшеца для одиничного відображення є рівним характеристиці Ейлера даного простору.

Теорема Лефшеца

Найпростіший варіант теореми Лефшеца стверджує, що якщо $\Lambda _{f}\neq 0\,$ то неперервне відображення $f:X\to X$ має хоча б одну нерухому точку, тобто елемент $x\in X$, для якого $f(x)=x$.

Формула Лефшеца

Більш детально припустимо, що всі нерухомі точки відображення $f:X\to X$ ізольовані.

Для кожної нерухомої точки $x\in X$, позначимо через $i(x)$ її індекс Кронекера (локальний степінь відображення $f$ в околі точки $x$). Тоді формула Лефшеца для $X$ і $f$ має вигляд

$\sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda _{f}.$

Доведення

Нижче подано доведення для поліедрів — просторів гомеоморфних скінченному симпліційному комплексу.

Припустимо, що $K$ є підмножиною деякого евклідового простору $R^{m}$, і $d$ — стандартна метрика у $R^{m}$. Оскільки простір $|K|$ є компактним і $f$ не має нерухомих точок, $d(x,f(x))$ досягає свого мінімального значення $\delta >0$, у деякій точці $|K|$. Нехай $n$ — ціле число, для якого $\operatorname {mesh} K^{(n)}<{\frac {\delta }{2}}$, і $g:|K^{(n+t)}|\to |K^{(n)}|$ — симпліційне наближення до відображення $f:|K^{(n)}|\to |K^{(n)}|$ (деталі щодо позначень і термінології у статті Симпліційний комплекс).

Якщо $h:|K^{(n+t)}|\to |K^{(n)}|$ є симпліційним наближенням до одиничного відображення, то $g\simeq f\simeq fh$, тож $g_{*}=f_{*}h_{*}$. Але $h_{*}$ є оберненим ізоморфізмом до $\phi _{*}^{t}$, де $\phi$ є гомоморфізмом барицентричного підрозбиття ланцюгових комплексів; звідси $f_{*}=g_{*}\phi _{*}^{t}$, тож $g\phi ^{t}:C(K^{(n)})\to C(K^{(n)})$ є гомоморфізмом ланцюгових комплексів, що породжує $f_{*}$.

Зважаючи на еквівалентне означення числа Лефшеца достатньо довести, що для кожного симплекса $\sigma \in K^{(n)}$, значенням $g\phi ^{t}(\sigma )$ є лінійна комбінація симплексів жоден з яких не є рівним $\sigma$, бо у цьому випадку очевидно $\mathrm {Tr} (f_{r})=0$. Припустимо, що $\sigma$ є симплексом для якого $g\phi ^{t}(\sigma )$ містить $\sigma$. Тоді оскільки $\phi ^{t}(\sigma )$ є лінійною комбінацією симплексів, що містяться у $\sigma$, отримуємо, що образом хоча б одного з них при відображенні $g$ є $\sigma$, а тому існує точка $x\in \sigma$ для якої також $g(x)\in \sigma$ і тому $d(x,g(x))\leqslant \operatorname {mesh} K^{(n)}<{\frac {\delta }{2}}$. Але з властивостей симпліційного наближення випливає, що $f(x)$ і $g(x)$ належать деякому спільному симплексу і тому $d(f(x),g(x))<{\frac {\delta }{2}}$. Звідси $d(x,f(x))<d(x,g(x))+d(f(x),g(x))<\delta$, що суперечить означенню числа $\delta$.

Застосування

Властивості просторів зі скінченними гомологічними групами

Для скінченного лінійно зв'язного симпліційного комплексу K, для якого гомологічні групи $H_{n}(K)=H_{n}(K,\mathbb {Z} )$є скінченними для всіх $n>0$, то будь-яке неперервне відображення $f:|K|\to |K|$має нерухомі точки. Дане твердження є правильним, тому що $H_{n}(K,\mathbb {Q} )\simeq H_{n}(K,\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q}$ і для кожної скінченної абелевої групи G, виконується $G\otimes Q=0$(тривіальна група), натомість для кожного лінійно зв'язного простору $H_{n}(K,\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q}$ і для будь-якого неперервного відображення $f:|K|\to |K|$породжений гомоморфізм $f_{*}^{0}:H_{0}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )$є одиничним відображенням одновимірного векторного простору; відповідно $\mathrm {Tr} (f_{*}^{0})$і тому $\Lambda _{f}=1.$

Наслідками цього твердження є:

• Якщо K є стягуваним простором, наприклад кулею, то $H_{n}(K)=0$ для всіх $n>0$то будь-яке неперервне відображення $f:|K|\to |K|$має нерухомі точки. Таким чином теорема Брауера про нерухомі точки є частковим випадком теореми Лефшеца.
• Для дійсного проективного простору $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$де $n$є парним числом для всіх $r>0$гомологічні групи $H_{r}(K)$є рівними $0$або $\mathbb {Z} _{2}$і тому будь-яке неперервне відображення $f:\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$має нерухомі точки.

Неперервні відображення на сферах

Нехай тепер $f:S^{n}\to S^{n}$ — неперервне відображення сфери, що не має нерухомих точок. Єдиними ненульовими гомологічним групами у цьому випадку є $H_{0}(S^{n},\mathbb {Q} )\simeq H_{n}(S^{n},\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q}$ і $f_{*}^{0}:H_{0}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )$є одиничним лінійним відображенням, а $f_{*}^{n}:H_{n}(X,\mathbb {Q} )\to H_{n}(X,\mathbb {Q} )$задається як $f_{*}^{n}(\sigma )=d\sigma$для деякого раціонального числа d. Тоді $\Lambda _{f}=1+(-1)^{n}d=0$ і тому $d=(-1)^{n+1}$.

• Наслідком цього твердження є те, що для парного числа $n$для довільного неперервного відображення $f:S^{n}\to S^{n}$ гомотопного одиничному існують нерухомі точки. Звідси зокрема отримується твердження про відсутність неперервних дотичних векторних полів, що не є рівні нулю в усіх точках для сфер $S^{2n}$.

Компактні групи Лі

Нехай тепер G — лінійно зв'язна компактна група Лі і T — максимальний тор у цій групі. Позначимо X = G/T. Тоді X є компактним многовидом і для кожного $g\in G$ відображення

$f_{g}:X\to X\quad f_{g}(xT)=gxT$

є диференційовним. Оскільки група є лінійно зв'язною то всі відображення $f_{g}$ є гомотопно еквівалентними одиничному відображенню і тому числа Лефшеца всіх цих відображень є рівними характеристиці Ейлера простору X. Можна довести, що $\chi (X)=\left|N(T)/T\right|,$ тобто порядку факторгрупи нормалізатора максимального тора по самому максимальному тору. Ця факторгрупа завжди є скінченною.

З теореми Лефшеца випливає, що кожне відображення $f_{g}$ має нерухому точку для якої $xT=gxT$. Тоді зокрема $x^{-1}gx\in T$, тобто кожен елемент групи G є спряженим із деяким елементом максимального тора T. Якщо взяти топологічний генератор якогось іншого тора (топологічним генератором групи називається елемент $g$такий, що множина степенів $g^{n}$є щільною у групі; для максимальних торів у компактних групах Лі топологічні генератори завжди існують) то звідси випливає, що два максимальні тори у групі G є спряженими. Це твердження є важливим у теорії представлень компактних груп Лі.

Див. також

• Симпліційний комплекс
• Сингулярні гомології
• Теорема Брауера про нерухому точку

Література

• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619