Теорема Лефшеца про нерухому точку

Теорема Лефшеца про нерухому точку — результат у алгебричній топології про існування нерухомих точок неперервного відображення в себе для досить широких класів топологічних просторів.

Число ЛефшецаРедагувати

Нехай  зв'язний компактний орієнтовний топологічний многовид або скінченний CW-комплекс (зокрема поліедр — простір гомеоморфний скінченному симпліціальному комплексу). У цих випадках сингулярні гомологічні групи   (для поліедрів еквівалентно симпліціальні гомологічні групи) над полем   є скінченновимірними векторними просторами. Нехай   — стандартні позначення для n-их компонент елементів відповідних ланцюгових комплексів, циклів, границь і гомологічних груп (деталі у статті Ланцюговий комплекс).

Якщо  неперервне відображення, то воно задає лінійні відображення   Нехай  слід лінійного перетворення.

За означенням, числом Лефшеца відображення   називається число

 

Властивості числа ЛефшецаРедагувати

  • Якщо функції f і g є гомотопно еквівалентними, то  
  • У випадку, наприклад, скінченного симпліціального комплексу число Лефшеца можна ввести в інший спосіб. Тоді відображення   задає лінійні відображення   на скінченновимірних просторах   елементи базиса яких є у бієктивній відповідності із n-симплексами симпліціального комплексу. Відображення   одержуються, наприклад композицією відображень   на сингулярному комплексі із ланцюговими відображеннями, що задають еквівалентність симпліціальних і сингулярних гомологій. Тоді:
 
Нижче цикли, границі і гомології подані для симпліціального випадку. Для доведення позначимо відображення   і  . Із елементарних властивостей сліду лінійних відображень над скінченновимірними векторними просторами випливає, що  . Але граничний гомоморфізм   задає ізоморфізми   і  , а тому  . Остаточний результат одержується підстановкою виразу   через   і   у формулу числа Лефшеца і скороченням   і   які будуть мати різні знаки.
  • Якщо у випадку скінченного симпліціального комплексу взяти   (одиничне відображення на просторі  ) то   є одиничними відображеннями на гомологічних групах і   є рівним кількості симплексів розмірності n (оскільки сингулярні і симпліціальні гомології у цьому випадку є еквівалентними). Тому  , тобто число Лефшеца для одиничного відображення є рівним характеристиці Ейлера даного простору.

Теорема ЛефшецаРедагувати

Найпростіший варіант теореми Лефшеца стверджує, що якщо   то неперервне відображення   має хоча б одну нерухому точку, тобто елемент  , для якого  .

Формула ЛефшецаРедагувати

Більш детально припустимо, що всі нерухомі точки відображення   ізольовані.

Для кожної нерухомої точки  , позначимо через   її індекс Кронекера (локальний степінь відображення   в околі точки  ). Тоді формула Лефшеца для   і   має вигляд

 

ДоведенняРедагувати

Нижче подано доведення для поліедрів — просторів гомеоморфних скінченному симпліціальному комплексу.

Припустимо, що   є підмножиною деякого евклідового простору  , і   — стандартна метрика у  . Оскільки простір   є компактним і   не має нерухомих точок,   досягає свого мінімального значення  , у деякій точці  . Нехай  ціле число, для якого  , і  симпліціальне наближення до відображення   (деталі щодо позначень і термінології у статті Симпліціальний комплекс).

Якщо   є симпліціальним наближенням до одиничного відображення, то  , тож  . Але   є оберненим ізоморфізмом до  , де   є гомоморфізмом барицентричного підрозбиття ланцюгових комплексів; звідси  , тож   є гомоморфізмом ланцюгових комплексів, що породжує  .

Зважаючи на еквівалентне означення числа Лефшеца достатньо довести, що для кожного симплексу  , значенням   є лінійна комбінація симплексів жоден з яких не є рівним  , бо у цьому випадку очевидно  . Припустимо, що   є симплексом для якого   містить  . Тоді оскільки   є лінійною комбінацією симплексів, що містяться у  , отримуємо, що образом хоча б одного з них при відображенні   є  , а тому існує точка   для якої також   і тому  . Але з властивостей симпліціального наближення випливає, що   і   належать деякому спільному симплексу і тому  . Звідси  , що суперечить означенню числа  .

ЗастосуванняРедагувати

Властивості просторів зі скінченними гомологічними групамиРедагувати

Для скінченного лінійно зв'язного симпліціального комплексу K, для якого гомологічні групи  є скінченними для всіх  , то будь-яке неперервне відображення  має нерухомі точки. Дане твердження є правильним, тому що   і для кожної скінченної абелевої групи G, виконується  (тривіальна група), натомість для кожного лінійно зв'язного простору   і для будь-якого неперервного відображення  породжений гомоморфізм  є одиничним відображенням одновимірного векторного простору; відповідно  і тому  

Наслідками цього твердження є:

  • Якщо K є стягуваним простором, наприклад кулею, то   для всіх  то будь-яке неперервне відображення  має нерухомі точки. Таким чином теорема Брауера про нерухомі точки є частковим випадком теореми Лефшеца.
  • Для дійсного проективного простору  де  є парним числом для всіх  гомологічні групи  є рівними  або  і тому будь-яке неперервне відображення  має нерухомі точки.

Неперервні відображення на сферахРедагувати

Нехай тепер   — неперервне відображення сфери, що не має нерухомих точок. Єдиними ненульовими гомологічним групами у цьому випадку є   і  є одиничним лінійним відображенням, а  задається як  для деякого раціонального числа d. Тоді   і тому  .

  • Наслідком цього твердження є те, що для парного числа  для довільного неперервного відображення   гомотопного одиничному існують нерухомі точки. Звідси зокрема отримується твердження про відсутність неперервних дотичних векторних полів, що не є рівні нулю в усіх точках для сфер  .

Компактні групи ЛіРедагувати

Нехай тепер G — лінійно зв'язна компактна група Лі і T — максимальний тор у цій групі. Позначимо X = G/T. Тоді X є компактним многовидом і для кожного   відображення

 

є диференційовним. Оскільки група є лінійно зв'язною то всі відображення   є гомотопно еквівалентними одиничному відображенню і тому числа Лефшеца всіх цих відображень є рівними характеристиці Ейлера простору X. Можна довести, що   тобто порядку факторгрупи нормалізатора максимального тора по самому максимальному тору. Ця факторгрупа завжди є скінченною.

З теореми Лефшеца випливає, що кожне відображення   має нерухому точку для якої  . Тоді зокрема  , тобто кожен елемент групи G є спряженим із деяким елементом максимального тора T. Якщо взяти топологічний генератор якогось іншого тора (топологічним генератором групи називається елемент  такий, що множина степенів  є щільною у групі; для максимальних торів у компактних групах Лі топологічні генератори завжди існують) то звідси випливає, що два максимальні тори у групі G є спряженими. Це твердження є важливим у теорії представлень компактних груп Лі.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.