Модулярна формаголоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині ), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.

Визначення

ред.

Допоміжні визначення

ред.

Нехай  квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого   визначимо функцію  . Також позначимо:

 

Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення  . Довільна група   називається конгруентною. Нехай   — деякий елемент конгруентної групи. Якщо   (де  слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка   називається параболічною, якщо існує параболічний елемент  , такий що  .

Модулярна форма

ред.

Нехай   — деяка конгруентна група. Функція f визначена на   називається модулярною формою степеня (ваги) k для групи  , якщо виконуються умови:

  1.  ;
  2.  голоморфна в  ;
  3.   голоморфна в параболічних точках групи  .

Модулярна функція

ред.

Нехай   — деяка конгруентна група. Функція f визначена на   називається модулярною функцією для групи  , якщо виконуються умови:

  1.   є інваріантною щодо дії групи  , тобто  ;
  2.  мероморфна в  ;
  3.   — мероморфна в параболічних точках групи  .

Випадок групи

ред.

Модулярна група   породжується двома матрицями   і  . Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов   і  . Параболічними точками даної групи є точки   і всі вони є еквівалентними, тобто   існує такий  , що  . Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти  . Завдяки властивості   функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через  .

Оскільки   на всій комплексній площині не рівний нулю то також   але,   коли   (по від'ємній дійсній осі), отже   коли  , тобто коли   (по додатній уявній осі).

Функція є мероморфною в безмежності якщо:

 

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти   — коефіцієнти Фур'є функції  , Якщо   при   на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Пояснення

ред.

Для   модулярну форму можна також означити, як однорідну голоморфну функцію F на множині ґраток в  . Тут ґратка - це підгрупа   в  , породжена двома числами  ,  , які утворюють базу   над  . Однорідність F означає, що існує ціле  , таке, що   для всіх   і всіх ґраток  . Досить обмежитись парною вагою k, інакше  . За допомогою гомотетії   можна зробити, щоб  , а   було параметром ґратки. Функція  ,   має автоморфну властивість, еквівалентну однорідності F. Голоморфність F означає голоморфність f і поліноміальну обмеженість росту f поблизу межі  . З обмеженості випливає, що   при   і   при  .

Загальний випадок

ред.

Якщо   — деяка підгрупа зі скінченним індексом групи  , то множина параболічних точок теж рівна  , але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки   стабілізатор породжується деякою матрицею  . Оскільки f(z) інваріантна відносно  , то  . Тому якщо визначити   то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.

функція є мероморфною в безмежності якщо:

 

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти   — коефіцієнти Фур'є функції  , Якщо   при   на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Якщо точка   не є еквівалентна безмежності в групі  , тоді можна знайти такий  , що  . Тоді функція   є інваріантною щодо групи  . Тоді   буде голоморфною (мероморфною) в точці  , якщо   буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.

Для   говоримо про модулярні форми рівня N. Модулярні форми ваги k і рівня   утворюють скінченновимірний простір   (нульовий при  ) і градуйована алгебра   скінченнопороджена над  . Наприклад,   для непарних k, а для парних k   при   і   інакше. Більш загально, якщо   - дискретна підгрупа  , і   має скінченний гіперболічний об'єм V (стосовно 2-форми  ), то   для всіх  . Зокрема, для підгрупи, що містить -1,  , скінченного індексу r,  .

Приклади

ред.
  • Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги  , що визначаються для парного  :
 

де  .

  • Нехай
  — модулярні інваріанти,   — модулярний дискримінант.

Визначимо також:

  — основний модулярний інваріант (j-інваріант).

Виконуються рівності:

 
 

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто   — модулярна форма ваги 4,   — модулярна форма ваги 12. Відповідно   — модулярна форма ваги 12, а   — модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.

Пояснення

ред.

При дії групи   з вагою   на голоморфних функціях  ,  ,  ,

 

стабілізатор точки 1 (постійної функції) при парному k - це матриці з  ,  . При дії   цей стабілізатор є  . Множина класів суміжності   перебуває в бієкції з  нсд . Ряд Айзенштайна

 

абсолютно збігається при   і є нерухомою точкою дії  , тобто модулярною формою ваги k рівня 1. Комутативне кільце  .

Безпосередньо однорідну функцію від ґратки можна написати як  ,  . Звуження її на ґратки  ,  , дає модулярну форму ваги k рівня 1

 

втім,  . Використовуючи ще одну нормалізацію  , знаходимо розвинення її в ряд Фур'є від  :  , де  число Бернуллі і  .

Квадратичні форми

ред.

Нехай  тета-функція Якобі,  . Тоді   — модулярна форма ваги 1 рівня 4. З одновимірності певного простору модулярних форм випливає, що число представлень цілого   як суми квадратів двох цілих чисел є  . З того, що   - модулярна форма ваги 2 рівня 4 виводиться: число представлень цілого   як суми квадратів чотирьох цілих чисел є  . Узагальнюючи, розглянемо додатно визначену квадратичну форму  ,  , де   - симетрична додатно визначена матриця з парними діагональними елементами. З нею асоціюється тета-ряд

 

де   і  . Нехай N — найменше додатне ціле, таке, що   має парні діагональні елементи. Тоді для  ,  , функція   є модулярною формою ваги k рівня N. Зокрема, для  ,   є модулярною формою ваги k рівня 1. Наприклад, це вірно для ґратки   ( ) або ґратки Лича ( ).

Оператори Геке

ред.

На просторі модулярних форм ваги k рівня 1 діє оператор Геке  ,  . Він переводить однорідну функцію F степеня -k від ґратки   в суму  , де   пробігає підґратки індексу m. Константа нормалізації вибрана так, щоби ряди з цілими коефіцієнтами Фур'є переходили в такі ж. Скінченна множина ґраток   індексу m ототожнюється з множиною  , де   - множина матриць   з визначником m. Тому

 

За представників класів суміжності можна обрати цілочисельні матриці   з  ,  . Тому

 

Всі оператори   комутують і є нормальними відносно скалярного добутку Петерсона, тож   має базу спільних власних векторів (Геке). Ці вектори f можна нормалізувати умовою   для   і нормалізований власний базис є єдиним. Прикладами нормалізованих власних функцій слугують   і  ,  . З кожною модулярною формою   ваги k пов'язується ряд Діріхле  . Якщо f - нормалізована власна функція Геке, то

 

де p пробігає прості числа. Для довільної модулярної форми f з   ряд Діріхле продовжується до цілої функції від s і задовольняє функціональному рівнянню  , де   - теж ціла функція.

Застосування

ред.

З гіпотези Шимури — Таніями — Вейля, доведеної Вайлсом, Тейлором, Брейлем, Конрадом, Даймондом наприкінці двадцятого століття (кожна еліптична крива над   може бути параметризована модулярними функціями) випливає (Рібет) велика теорема Ферма: для   не існує додатних цілих a, b, c з  .

Посилання

ред.

Література

ред.
  • Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998. ISBN 5-70364029-4
  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
  • Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
  • D. Mumford, Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, vol. 28, Birkhäuser Boston, MA, 1983.
  • Ю.И. Манин, А.А. Панчишкин, Введение в современную теорию чисел, Москва, МЦНМО, 2009.
  • Енциклопедія Сучасної України