SL(2,R)

У математиці, спеціальна лінійна група $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ або $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ — це група дійсних $:2\times 2$ матриць, з детермінантом $1$ :

\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)\colon a,b,c,d\in \mathbb {R} \ {\text{і}}\ ad-bc=1\right\}.

Це зв'язна некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

$\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ( $2\times 2$ спеціальна проєктивна група над $\mathbb {R}$ ). Більш конкретно,

\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\{\pm I\}

,

де $I$ — $2\times 2$ одинична матриця. Вона містить модулярну групу $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ .

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна покривна група^[en] $\operatorname {Mp} (2,\mathbb {R} )$ , або метаплектична група^[en] (вважаючи $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ симплектичною групою).

Інша пов'язана група це $\operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )$ , група дійсних $2\times 2$ матриць з детермінантом $\pm 1$ ; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.

Опис

$\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ це група всіх лінійних перетворень у $\mathbb {R^{2}}$ , яка зберігає орієнтацію. Вона ізоморфна симплектичній групі $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {R} )$ і спеціальній унітарній групі $\operatorname {SU} (1,1)$ .Також вона є ізоморфною групі одиничних кватерніонів. Група $\operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )$ не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ допускає декілька цікавих означень:

Це група проєктивних перетворень на дійсній проєктивній прямій^[en] $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ , що зберігає орієнтацію.
Це група конформних автоморфізмів одиничного круга.
Це група ізометрій гіперболічної площини, що зберігає орієнтацію.
Це обмежена група Лоренца тривимірного простору Мінковского. Еквівалентно, це група, яка ізоморфна невизначеній ортогональній групі $\operatorname {SO} ^{+}(1,2)$ . З цього випливає, що $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ ізоморфна спінорній групі $\operatorname {Spin} (2,1)^{+}$ .

Елементи модулярної групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ .

Проєктивні перетворення

Елементи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ є проєктивними перетвореннями на дійсній проєктивній прямій^[en] $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ :

[x,1]\longmapsto [x,1]\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)=[ax+b,cx+d]=\left[{\frac {ax+b}{cx+d}},1\right].

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )$ , яка діє на сферу Рімана шряхом перетворень Мебіуса.

Якщо дійсна пряма розглядається границею гіперболічної площини, то $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ описує гіперболічні рухи^[en].

Перетворення Мебіуса

Елементи групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\ ({\text{де}}\ a,b,c,d\in \mathbb {R} )

.

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає верхню півплощину. З цього випливає, що $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до теореми Рімана про відображення, вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як ізометрії моделі верхньої півплощини гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями моделі Пуанкаре.

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для дуальних і подвійних чисел. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки^[1] з гіперболічна геометрією.

Приєднане представлення

Група $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ діє на свою алгебру Лі ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ шляхом спряженості (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є $2\times 2$ матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне представлення групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ . Це також можна описати як дію групи на простір квадратичних форм у $\mathbb {R^{2}}$ . Як результат матимемо наступне представлення:

\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]\longmapsto \left[{\begin{matrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{matrix}}\right]

.

Форма Кіллінга алгебри ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ має сигнатуру $(2,1)$ і встановлює ізоморфізм між групою $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ і групою Лоренца $\operatorname {SO} ^{+}(2,1)$ . Така дія групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ на простір Мінковського обмежується до ізометричної дії групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ на гіперболоїдну модель гіперболічної площини.

Класифікація елементів

Власні значення елемента $A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ задовольняють характеристичний многочлен

\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (A)\lambda +1=0

,

звідси

\lambda ={\frac {\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\operatorname {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}

.

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

Якщо $|\operatorname {tr} (A)|<2$ , то $A$ називається еліптичним і є спряженим до поворотів.
Якщо $|\operatorname {tr} (A)|=2$ , то $A$ називається параболічним і є відображенням зсуву.
Якщо $|\operatorname {tr} (A)|>2$ , то $A$ називається гіперболічним і є відображенням стискання^[en].

Назви відповідають класифікації конічних перетинів ексцентриситетом: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду ( $\epsilon ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr}$ ; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти $\pm 1$ , як і при роботі з групою $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ), тоді це приводить до наступних випадків: $\epsilon <1$ , еліптичний; $\epsilon =1$ , параболічний; $\epsilon >1$ , гіперболічний.

Одиничний елемент $1$ і від'ємний одиничний елемент $-1$ (у випадку групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ вони співпадають) мають слід $\pm 2$ , і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама класифікація використовується для груп $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ і $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ (дійсне перетворення Мебіуса), з додатковими ``локсодромними'' перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; аналогічні класифікації використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, параболічною підгрупою^[en], гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і т. ін.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних однопараметричних підгруп} (можливо домножені на $\pm 1$ ), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи $\pm 1$ ) є відкритими множинами, так само, як гіперболічні елементи (виключаючи $\pm 1$ ), у той час як параболічні елементи (включаючи $\pm 1$ ) є замкнутими множинами.

Еліптичні елементи

Власні значення еліптичного елемента є комплексними, а також комплексно спряженими значеннями на одиничному колі. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору — вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі — а відповідний елемент групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ діє як (спряжений до) повороту гіперболічної площини і простору Мінковського.

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення $\{\omega ,\omega ^{-}\}$ , де $\omega$ це простий корінь з одиниці третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного порядку, і на торі вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами'' (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями $\pm i$ і є спряженими до поворотів на $90^{\circ }$ , а також є квадратами до $-I$ : вони є нетотожними інволюціями у групі $\operatorname {PSL(2)}$ .

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, спеціальну ортогональну групу $\operatorname {SO(2)}$ ; кут повороту є арккосинусом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі $\operatorname {GL(2)}$ , але не у групі $\operatorname {SL(2)}$ .)

Див. також

Примітки

↑ Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ . London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi: 10.1142/p835 [Архівовано 24 вересня 2019 у Wayback Machine.]. ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041 [Архівовано 11 травня 2017 у Wayback Machine.].

Література

Valentine Bargmann. Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group // Annals of Mathematics. — 1947. — Т. 48, вип. 3. — С. 568–640. — DOI:10.2307/1969129. — JSTOR 1969129.
Гельфанд И.М., Наймарк М.А. Унитарные представления группы Лоренца // Изв. АН СССР. Сер. Матем.. — 1947. — Т. 11, вип. 5. — С. 411–504.
Harish-Chandra. Plancherel formula for the $2\times 2$ real unimodular group // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1952. — Т. 38. — С. 337–342. — DOI:10.1073/pnas.38.4.337. — PMID 16589101.
Ленг С. $\operatorname {SL_{2}(R)}$ / Перевод с английского В.И. Васюнина и М.А. Семёнова-Тян-Шанского; Под редакцией А.А. Кириллова. — Москва, 1977.

[1] Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ . London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi: 10.1142/p835 [Архівовано 24 вересня 2019 у Wayback Machine.]. ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041 [Архівовано 11 травня 2017 у Wayback Machine.].

[1]