Відкрити головне меню

Теорема Рімана про відображення — теорема у комплексному аналізі, що стверджує, що для довільної однозв'язної відкритої підмножини комплексної площини , що не збігається з усією , існує бієктивне голоморфне відображення із множини на відкритий одиничний круг

де

ЗауваженняРедагувати

Голоморфна функція, що є взаємно-однозначною (тобто оборотною), є конформним відображенням, так що теорему можна формулювати в термінах конформної еквівалентності. Також, не має значення, стверджувати про існування функції   або оберненої  . Можна навіть вимагати існування відображення з будь-якої однозв'язної області в будь-яку іншу однозв'язну — твердження теореми від цього не стане сильнішим.

Дана теорема здається парадоксальною, оскільки умови на область є чисто топологічними і ніяк не обумовлюють геометрію її межі. Насправді, порівняно легко будуються конформні відображення круга не тільки на многокутники і подібні фігури, але і області на зразок круга з одним вирізаним радіусом і т. д. Можна навіть побудувати функцію на кругу, образ якої має ніде не гладку межу. Втім, Ріман зумів довести теорему лише в припущенні кускової гладкості межі.

Єдиність відображенняРедагувати

Оскільки одиничний круг легко нетотожно конформно відобразити на себе, то шукане конформне відображення єдиним бути не може. Проте, легко бачити, що вся неоднозначність в побудові відображення відноситься до автоморфізмів одиничного круга, які утворюють дійсну 3-мірну групу Лі. Зокрема, якщо   — елемент множини   і φ — довільний кут, тоді існує єдине відображення   із теореми Рімана, яке додатково задовольняє умовам   відображає   в   і аргумент похідної   в точці   рівний куту φ.

ДоведенняРедагувати

Доведемо, що в   існує хоча б одна голоморфна і ін'єктивна функція, що по модулю є меншою 1. За умовою межа  містить дві різні точки   Квадратний корінь  має аналітичне продовження вздовж будь-якого шляху в області   і оскільки ця область є однозв'язною, то по теоремі про монодромію цей корінь допускає виділення в   двох однозначних гілок   і  що відрізняються знаком.

Кожна з цих гілок є ін'єктивною в  , бо з рівності  випливає рівність

 

а з неї, зважаючи на ін'єктивність дробово-лінійної функції, рівність  . Ці гілки відображають  відповідно на області   і  , які не мають спільних точок, бо в іншому випадку знайшлися б точки   такі, що  , але з останнього рівності знову випливає рівність  , а тому  що неможливо оскільки  

Область   містить деякий круг  а тому   в  не набуває значень з цього кола. Тому функція

 

очевидно є голоморфною і ін'єктивною і обмеженою в  :

 

Позначимо як   сім'ю всіх голоморфних і ін'єктивних в   функцій, по модулю всюди менших 1. Ця

сім'я є непустою, бо містить функцію   і по теоремі Монтеля вона є нормальною. Підсім'я   сім'ї  , до якої належать усі функції з  для яких

 

в деякій фіксованій точці   є нормальною в собі. А саме з наслідку теореми Гурвіца границя послідовності функцій  

що сходиться рівномірно на будь-якій компактній підмножині  , може бути лише ін'єктивною функцією (і тоді належати  ) або

постійною, але останній випадок виключений нерівністю з означення  .

Розглянемо на   функціонал  Він є неперервним і тому існує функція  на якій цей функціонал досягає максимуму, тобто така, що для всіх   виконується нерівність  

Оскільки функція   то вона конформно відображає   в одиничний круг  . Також   оскільки в іншому випадку в   була б функція

 

для котрої

 

що суперечить означенню функції  .

Нарешті, що   відображає   на весь круг  . Справді, нехай  не приймає в  деякого значення  . Оскільки  , то  . Але і значення   не приймається цією функцією в   (оскільки  ), і, отже, по теоремі про монодромію в  можна виділити однозначну гілку кореня

 

яка належить  . Але тоді   належить і функція

 

для котрої

 

Але   бо  , тобто   і  що суперечить означенню функції  .

УзагальненняРедагувати

Якщо замість області на комплексній площині розглядати область на довільній ріманової поверхні, то ми приходимо до часткового випадку теореми про уніформізацію:

для довільної однозв'язної відкритої підмножини   ріманової поверхні існує бієктивне голоморфне відображення (  із множини   на одну з множин:

Спроби узагальнити дану теорему на дійсну конформну геометрію в розмірностях вище 2, як і на комплексну геометрію в розмірностях вище 1, використовуючи поняття голоморфного відображення, до особливих успіхів не привели. Доведено, що і в тому і іншому випадку для еквівалентності областей вже недостатньо чисто топологічних умов. У будь-якому випадку, такі загальні твердження про еквівалентність областей в багатовимірних просторах науці не відомі.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
  • John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
  • Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3

ПосиланняРедагувати