Нормальна сім'я функцій

В математиці нормальною сім'єю функцій називається множина функцій заданих на деякому повному метричному просторі із значенням у іншому метричному просторі, для яких із кожної послідовності функцій можна вибрати підпослідовність, що буде рівномірно збіжною на всіх компактних підмножинах. Використовуючи топологічну термінологію, нормальною сім'єю є відносно компактна множина функцій щодо компактно-відкритої топології.

Поняття нормальної сім'ї функцій виникло і широко використовується у комплексному аналізі; зокрема важливими є нормальні сім'ї голоморфних і мероморфних функцій.

Означення для метричних просторів

Сім'я $S$ неперервних функцій $f$ заданих на деякому повному метричному просторі $X$ із значеннями у повному метричному просторі $Y$ називається нормальною якщо кожна послідовність функцій із $S$ містить підпослідовність, яка збігається рівномірно на компактних множинах $X$ до неперервної функції з $X$ у $Y$. Тобто для кожної послідовності функцій з $S$ ,існує підпослідовність $f_{n}(x)$ і неперервна функція $f(x)$ з $X$ у $Y$, такі що для кожної компактної підмножини $K$ у $X$:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}(f_{n}(x),f(x))=0$

де $d_{Y}(y_{1},y_{2})$ є метрикою повного метричного простору $Y$.

Нормальні сім'ї у комплексному аналізі

Голоморфні функції і відображення

Нехай $\mathbb {C} ^{n},\mathbb {C} ^{m}$ — багатовимірні комплексні простори із стандартною метрикою заданою евклідовою нормою. Тобто, якщо $z=(z_{1},...,z_{n})$ і $w=(w_{1},...,w_{n})$ дві точки простору $\mathbb {C} ^{n}$ то $d(z,w)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(z_{i}-w_{i})({\overline {z_{i}-w_{i}}})}}$.

Нехай $S$ — деяка сім'я голоморфних відображень з $\mathbb {C} ^{n}$ у $\mathbb {C} ^{m}$, тобто композиція цих відображень із координатними функціями є голоморфними функціями багатьох комплексних змінних.

Сім'я відображень $S$ називається нормальною, якщо у вказаних метриках довільна послідовність відображень з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах. В цьому випадку граничним відображенням теж є голоморфне відображення. Тому означення нормальної сім'ї можна сформулювати по-іншому:

нормальна сім'я голоморфних відображень в області — сім'я $S$ голоморфних відображень $f(z)$ комплексних змінних $z=(z_{1},...,z_{n})$ в області $D$ простору $\mathbb {C} ^{n},\;n\geqslant 1$, така, що з будь-якої послідовності відображень з $S$ можна виділити підпослідовність $\{f_{\nu }(z)\}$, що рівномірно збігається на компактних підмножинах $D$ до голоморфного відображення.

Сім'я $S$ називається нормальною сім'єю в точці $z_{0}\in D$, якщо $S$ є нормальною в деякій кулі з центром в точці $z_{0}$. Сім'я $S$ є нормальною в області $D$ тоді і тільки тоді, коли вона є нормальною в кожній точці $z_{0}\in D$. Будь-яка компактна сім'я голоморфних функцій є нормальною; обернене твердження є невірним.

Одним з головним критерієм нормальності у цьому випадку є теорема Монтеля:

Нехай $S$ — сім'я голоморфних відображень на відкритій підмножині $U\subseteq \mathbb {C} ^{n}$. Якщо всі ці відображення є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини $K\subseteq U$ існує дійсне число $M=M_{K}$, таке що для всіх $z\in K$ і всіх $f_{\alpha }\in S$ справедливою є нерівність $|f_{\alpha }(z)|\leqslant M$, де норма є евклідовою нормою простору $\mathbb {C} ^{m}$. Тоді сім'я функцій $S$ є нормальною.

Голоморфні функції із сферичною метрикою

Іншим важливим випадком при вивченні голоморфних функцій є коли на комплексній площині задана сферична або хордальна метрики. Ці метрики задаються на розширеній комплексній площині і завдяки її інтерпретації як сфери (сфери Рімана) через стереографічну проєкцію. Тоді для двох точок $z_{1},z_{2}$ розширеної комплексної площини у хордальній метриці відстань $\xi (z_{1},z_{2})$ дорівнює евклідовій відстані між цими точками як точками на сфері Рімана у тривимірному просторі, а у сферичній метриці відстань $\rho (z_{1},z_{2})$ — довжині коротшої дуги великого кола на сфері, що сполучає ці дві точки. Оскільки для довільних точок $\xi (z_{1},z_{2})\leqslant \rho (z_{1},z_{2})\leqslant {\frac {\pi }{2}}\xi (z_{1},z_{2})$ то для поняття рівномірної збіжності вони є еквівалентними. Для точок $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ хордальну метрику можна записати як:

$\xi (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{1}-z_{2}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}$.

У випадку коли одна з точок рівна нескінченності $\xi (z_{1},\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}}$.

Сім'я функцій $S$ голоморфних в області в області $D$ простору $\mathbb {C} ^{n},\;n\geqslant 1$ називається нормальною, якщо з сферичною (чи еквівалентно хордальною) метрикою довільна послідовність функцій з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах.

Еквівалентно можна дати означення: нормальна сім'я голоморфних функцій в області — сім'я $S$ однозначних голоморфних функцій $f(z)$ комплексних змінних $z=(z_{1},...,z_{n})$ в області $D$ простору $\mathbb {C} ^{n},\;n\geqslant 1$, така, що з будь-якої послідовності функцій з $S$ можна виділити підпослідовність $\{f_{\nu }(z)\}$, що рівномірно на компактах у $D$ до голоморфної функції або до нескінченності. При цьому, за визначенням, підпослідовність $\{f_{\nu }(z)\}$ рівномірно збігається на компактах у $D$ до нескінченності, якщо для будь-яких компакта $K\subset D$ і числа $M>0$ можна вказати такий номер $N=N(K,M)$, що $|f_{\nu }(z)|>M$ для всіх $\nu >M,z\in K$.

Очевидно, що це означення нормальної сім'ї голоморфних функцій є ширшим, ніж попереднє і для нього теж виконується теорема Монтеля. Також аналогічно до попереднього вводиться поняття нормальності у точці.

Друга теорема Монтеля або фундаментальний критерій нормальності:

Якщо для сім'ї $S$ голоморфних функцій в області $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ жодна з функцій $f(z)\in S$ не є рівною деяким двом значенням, то $S$ є нормальною сім'єю в $D$. Ця ознака нормальності сім'ї значно спрощує дослідження голоморфних функцій в околі істотно особливої точки.

Мероморфні функції

Оскільки сферична і хордальна метрики визначені для розширеної комплексної площини (сфери Рімана), то попереднє означення має зміст і для мероморфних функцій.

Сім'я функцій $S$ мероморфних в області $D\subset \mathbb {C}$ називається нормальною, якщо з сферичною (чи еквівалентно хордальною) метрикою довільна послідовність функцій з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах.

Еквівалентно $S$ є нормальною сім'єю мероморфних функцій в $D$, якщо з будь-якої послідовності функцій з $S$ можна виділити підпослідовність $\{f_{\nu }(z)\}$, що збігається рівномірно на компактах у $D$ до мероморфної функції $f(z)$ або до нескінченності. При цьому, за визначенням, $\{f_{\nu }(z)\}$ збігається до $f(z)$ рівномірно всередині $D$ (випадок $f(z)\equiv \infty$ включається), якщо для будь-яких компакта $K\subset D$ і числа $\epsilon >0$ існують номер $N=N(\epsilon ,K)$ і круг $B=B(z_{0},r)$ радіуса $r=r(\epsilon ,K)$ з центром в будь-якій точці $z_{0}\in K$ такі, що при $\nu >N$ виконується $|f_{\nu }(z)-f(z)|<\epsilon ,\;z\in B$, коли $f(z_{0})\neq \infty$, або

$\left|{\frac {1}{f_{\nu }(z)}}-{\frac {1}{f(z)}}\right|<\epsilon ,\;z\in B$

коли $f(z_{0})=\infty$.

Друга теорема Монтеля або фундаментальний критерій нормальності:

Якщо для сім'ї $S$ мероморфних функцій в області $D\subset \mathbb {C}$ ні одна з функцій $f(z)\in S$ не є рівною деяким трьох значенням, то $S$ є нормальною сім'єю.

Теорема Марті

Сім'я $S$ мероморфних функцій є нормальною сім'єю в області $D\subset \mathbb {C}$ тоді і тільки тоді, коли

$\sup _{z\in K}\{\rho (f(z)):f(z)\in S\}<\infty$

на кожному компакті $K\subset D$, де :$\rho (f(z))={\frac {|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}$ — так звана сферична похідна функції $f(z)$.

Лема Зальцмана

Сім'я $S$ мероморфних функцій в області $D\subset \mathbb {C}$ не є нормальною сім'єю тоді і тільки тоді коли існують такі числа $z_{n}\in D$ дійсні числа $r_{n}>0$, що збігаються до нуля і функції $f_{n}\in S$ для яких функції визначені як $g_{n}(\alpha )=f_{n}(z_{n}+r_{n}\alpha )$ збігаються на комплексній площині рівномірно на компактах (у сферичній чи хордальній метриці) до мероморфної функції $g(\alpha )$, що не дорівнює константі і для якої сферична похідна завжди не більша 1 і дорівнює 1 в точці 0.

Теорема Ройдена

Нехай $S$ — сім'я мероморфних функцій в області $D\subset \mathbb {C}$ і $\psi (t)$ — зростаюча функція де $t\geqslant 0$. Якщо для всіх $f\in S$ і $z\in D$ виконується нерівність $|f'(z)|\leqslant \psi (|f(z)|)$, то $S$ є нормальною сім'єю в області $D$.

Див. також

• Теорема Монтеля

Література

• Монтель П., Нормальные семейства аналитических функций, пер. с франц., М.— Л., 1936 (рос.)
• Chi-Tai Chuang (1993). Normal Families of Meromorphic Functions. World scientific. ISBN 978-981-02-1257-5.
• Gamelin, Theodore W. (2001), Complex analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-95069-9
• Scheidemann, Volker (2005), Introduction to complex analysis in several variables, Birkhauser, ISBN 3-7643-7490-X
• J. L. Schiff (1993). Normal Families. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.