Відкрити головне меню
Дві системи відліку, одна з яких рухається зі швидкістю відносно іншої

Перетворення Лоренца — лінійні перетворення координат, що залишають незмінним просторово-часовий інтервал. Перетворення Лоренца зв'язують координати подій в різних інерціальних системах відліку та мають фундаментальне значення в фізиці. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або загальна коваріантність, є необхідною умовою достовірності цієї теорії.

Зміст

ФормулюванняРедагувати

Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв'язує координати події в інерціальній системі відліку K з координатами тієї ж події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:

 ,
де x, y, z, t — координати події в системі K; x′, y′, z′, t′ — координати тієї ж події в системі K′; V — відносна швидкість двох систем; c — швидкість світла.

Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V → -V:

 .

Властивості перетворень ЛоренцаРедагувати

З формул перетворень легко побачити, що при граничному переході c→∞ до класичної механіки або — що те ж саме — при швидкостях значно менших швидкості світла формули перетворення Лоренца переходять в перетворення Галілея за принципом відповідності.

При V > c координати x, t стають уявними, що означає той факт, що рух зі швидкістю, більшою за швидкість світла в вакуумі, неможливий. Неможливо навіть використовувати систему відліку, яка б рухалась зі швидкістю світла, бо тоді знаменники у формулах дорівнювали би нулю.

На відміну від перетворень Галілея перетворення Лоренца некомутативні: результат двох послідовних перетворень Лоренца залежить від їх порядку. Математично це можна побачити з формального тлумачення перетворень Лоренца як обертань чотиривимірної системи координат, де, як відомо, результат двох обертань навколо різних осей залежить від порядку їх виконання. Виключенням з цього правила є лише перетворення з паралельними векторами швидкостей V1||V2, які еквівалентні поворотам системи координат відносно однієї осі.

Історична довідкаРедагувати

Поштовхом до відкриття перетворень Лоренца послужив нульовий результат інтерференційного експерименту Майкельсона-Морлі. Для усунення виявлених труднощів теорії ефіру Лоренц припустив, що всі тіла при поступальному русі змінюють свої розміри, а саме, що зменшення розмірів тіла в напрямку руху визначається множником  , де   — зменшення розмірів в напрямку перпендикулярному руху тіла. Необхідно було органічно ввести це зменшення розмірів в теорію.

Першим формули, що відомі зараз як перетворення Лоренца, вивів Джозеф Лармор в 1900 році, та таким чином врахував змінення масштабу часу при русі. В 1904 Лоренц довів інваріантність рівнянь Максвелла відносно перетворень Лоренца, але в них ще входив невизначений множник   та дві інерційні системи ще не розглядалися повністю рівноправними.

В 1905 Анрі Пуанкаре виправив пропуски в роботі Лоренца та досяг повної коваріантності електродинаміки. Принцип відносності був визначений ним як загальне та строге положення. Саме в работах Пуанкаре вперше зустрічаються назви перетворення Лоренца та група Лоренца.


ВиведенняРедагувати

В рамках основного виведення використовуються чотири аксіоми.

Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонентРедагувати

Чотиривимірні покомпонентні перетворення ЛоренцаРедагувати

Перетворення Лоренца для радіус-вектораРедагувати

Інтервал. Геометричний зміст перетворень ЛоренцаРедагувати

Перетворення Лоренца для швидкості. Інваріантність фундаментальної швидкості та максимальність швидкості розповсюдження взаємодіїРедагувати

Перетворення Лоренца для силиРедагувати

Форми запису перетворень ЛоренцаРедагувати

Матричний запис перетворень ЛоренцаРедагувати

Часто, особливо в англомовній літературі, перетворення Лоренца записують у вигляді матриці повороту ||Λα′β||, що переводить компоненти 4-вектора xβ системи K в компоненти 4-вектора xα′ = Λα′βxβ, системи K′:

 .


Формули перетворень Лоренца з довільною орієнтацією осей системРедагувати

У випадку коли осі x координатних систем не паралельні швидкості формули перетворення були отримані Герглотцем у 1911 році. Для виводу цих формул зручно розділити радіус-вектор частки r в системі K на компоненту r||, яка паралельна швидкості V відносного руху інерціальних систем, та компоненту r, яка перпендикулярна V. Тоді при переході до іншої системи K′ буде змінюватись тільки паралельна складова r||:

 

Остаточно для радіус-вектора частки в системі K′ r′ = r′|| + r′ формули будуть виглядати так:

 ,
 .

Гіперболічна форма записуРедагувати

З математичної точки зору інтервал між двома подіями можна розглядати як «відстань» між двома точками в чотиривимірній системі координат. Отже, згідно з визначенням, перетворення Лоренца повинні зберігати незмінною будь-яку довжину в чотиривимірному просторі x, y, z, ct. Лінійними перетвореннями з такими властивостями є лише паралельні переноси та обертання системи координат. Паралельні переноси та обертання в площинах xy, yz, zx зводяться до переносу початку відліку простору та часу та звичайним просторовим поворотам. Останні три повороти системи координат в площинах tx, ty, tz і є перетвореннями Лоренца.

Якщо ввести «кут повороту» ψ, такий що

 ,

то перетворення Лоренца для систем K та K′ з паралельними осями можна записати в гіперболічній формі:

ct′ = -x shψ + ct chψ,
x′ = x chψ — ct shψ,
y′ = y,
z′ = z.

Ці формули відрізняються від звичайних формул перетворення при поворотах системи координат заміною тригонометричних функцій гіперболічними. В цьому виявляються відміни псевдоевклідової геометрії Мінковського від звичайної евклідової.

Перетворення Лоренца для електромагнітного поляРедагувати

Релятивістські перетворення для компонент векторів   тензора електромагнітного поля при переході від однієї ІСВ до іншої у псевдоевклідовому просторі-часі:

 ,

 ,

де   - вектор відносної швидкості між ІСВ,

 .

Перетворення можна отримати, маючи вираз для сили Лоренца та вираз для перетворення 3-вектора сили при переході між ІСВ:

 .

 .

Із перетворень видно, що вектори напруженості та індукції не є компонентами будь-яких 4-векторів, а входять до деякого антисиметричного 4-тензору (перетворення саме такого вигляду можна отримати у рамках СТВ для антисиметричних тензорів).

Отримання перетворень для напруженості електричного поляРедагувати

Перетворення Лоренца для вектора індукції магнітного поляРедагувати

Інваріанти перетворень Лоренца для полів та їх змістРедагувати

Перетворення Лоренца для загального поляРедагувати

Довільні стани невзаємодіючої багачастинкової системи (стани Фока) у КТП перетворюються за правилом[1]

 

 

 

 

 

( 1 )

де W(Λ, p) поворот Вігнера і D(j) є (2j + 1)-вимірним представленням SO(3).

ПриміткиРедагувати

  1. Weinberg, 2002, Chapter 3

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II Теория поля. — М.: Наука, 1988. ISBN 5-02-014420-7.
  • Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1991. ISBN 5-02-014346-4.