Перетворення Лоренца

Перетворення Лоренца — лінійні перетворення координат простору Мінковського, що залишають незмінним просторово-часовий інтервал. Перетворення Лоренца пов'язують координати подій в різних інерційних системах відліку та мають фундаментальне значення в фізиці. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або загальна коваріантність, є необхідною умовою достовірності цієї теорії.

Дві системи відліку, одна з яких рухається зі швидкістю ${\vec {v}}$ відносно іншої

Формулювання

Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв'язує координати події в інерційній системі відліку K з координатами тієї ж події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:

$x'={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-(V/c^{2})x}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}$,

де x, y, z, t — координати події в системі K; x′, y′, z′, t′ — координати тієї ж події в системі K′; V — відносна швидкість двох систем; c — швидкість світла.

Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V → -V:

$x={\frac {x'+Vt'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\quad y=y',\quad z=z',\quad t={\frac {t'+(V/c^{2})x'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Властивості перетворень Лоренца

З формул перетворень легко побачити, що при граничному переході $c\to \infty$ до класичної механіки або — що те ж саме — при швидкостях значно менших швидкості світла формули перетворення Лоренца переходять в перетворення Галілея за принципом відповідності.

При V > c координати x, t стають уявними, що означає той факт, що рух зі швидкістю, більшою за швидкість світла в вакуумі, неможливий. Неможливо навіть використовувати систему відліку, яка б рухалась зі швидкістю світла, бо тоді знаменники у формулах дорівнювали б нулю.

На відміну від перетворень Галілея, перетворення Лоренца некомутативні: результат двох послідовних перетворень Лоренца залежить від їхнього порядку. Це можна побачити з формального тлумачення перетворень Лоренца як обертань чотиривимірної системи координат, де, як відомо, результат двох обертань навколо різних осей залежить від порядку їх виконання. Винятком з цього правила є лише перетворення з паралельними векторами швидкостей V₁||V₂, які еквівалентні поворотам системи координат відносно однієї осі.

Історична довідка

Поштовхом до відкриття перетворень Лоренца послужив нульовий результат інтерференційного експерименту Майкельсона — Морлі. Для усунення виявлених труднощів теорії ефіру Лоренц припустив, що всі тіла при поступальному русі змінюють свої розміри, а саме, що зменшення розмірів тіла в напрямку руху визначається множником $\varkappa {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$, де $\varkappa$ — зменшення розмірів в напрямку, перпендикулярному руху тіла. Необхідно було органічно ввести це зменшення розмірів у теорію.

Формули, що відомі зараз як перетворення Лоренца, першим вивів Джозеф Лармор в 1900 році, таким чином він врахував зміну масштабу часу при русі. 1904 року Лоренц довів інваріантність рівнянь Максвелла відносно таких перетворень, але в них ще входив невизначений множник $\varkappa$ та різні інерційні системи не розглядалися повністю рівноправними.

В 1905 Анрі Пуанкаре виправив прогалини в праці Лоренца та досяг повної коваріантності електродинаміки. Принцип відносності був визначений ним як загальне та строге положення. Саме в працях Пуанкаре вперше трапляються назви перетворення Лоренца та група Лоренца.

Виведення

В рамках основного виведення використовуються чотири аксіоми.

Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонент

Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонент.  

Нехай функції перетворень між результатами спостерігання деякої події у різних ІСВ $\ K,K'$ із відносною швидкістю $\mathbf {u} =const$ для одновимірного випадку задаються як

$\ x'=f(x,u,t),\quad t'=g(x,u,t)\qquad (.0)$.

Враховуючи те, що простір-час однорідний [1] (якісно - кожна точка пустого простору-часу нічим не відрізняється від інших точок), можна стверджувати, що всі геометричні співвідношення між геометричними об'єктами не змінюються в залежності від вибору точки початку координат ІСВ. Це означає, що функції $\ (0)$ будуть лінійними функціями своїх аргументів, причому коефіцієнти при аргументах будуть залежати лише від відносної швидкості ІСВ:

$\ x'=Ax+Bt+const_{1},\quad t'=Cx+Dt+const_{2}\qquad (.0.1)$.

Доведення.  

Нехай є бескінечно мале зміщення $\ dx'$ у системі $\ K'$. Відповідне зміщення $\ dx$ системи $\ K$ буде рівне $\ dx$, а проміжок часу, що відповідає зміщенню - $\ dt$.

Тоді для функції координати (для функції часу - аналогічно)

$dx'={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {\partial f}{\partial u}}du={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt$.

Оскільки простір-час однорідний, то зміщення $dx'$ не повинно залежати від точки простору-часу, а отже, $\ {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial t}}$ є однаковими для всіх точок простору та усіх моментів часу $\ \left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial t}}=const\right)$, а отже, є постійними при заданій відносній швидкості. Отже, їх можна у записі функції $\ f(x,u,t)$ представити у вигляді коефіцієнтів, які можуть залежати лише від відносної швидкості (оскільки функція $\ f=f(x,u,t)$ залежить лише від координати, часу та відносної швидкості ІСВ):

$\ x'=Ax+Bt+const_{1},t'=Cx+Dt+const_{2}$,

де

$\ A=A(u),\quad B=B(u),\quad C=C(u),\quad D=D(u)$.

Більш глибоке доведення.  

Нехай, знову ж таки,

$\ x'=f(x,t),\quad t'=g(x,t)\Rightarrow dx'=f'_{x}dx+f'_{t}dt,\quad dt'=g'_{x}dx+g'_{t}dt$,

де $\ f'_{k},g'_{k}$ - похідні від функцій по аргументу k. Тоді швидкість деякого цільового тіла в ІСВ А', відносно якої кінематичні характеристики відповідають значенням $\ x',t'$, рівна

$\ v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {f'_{x}dx+f'_{t}dt}{g'_{x}dx+g'_{t}dt}}={\frac {f'_{x}v+f'_{t}}{g'_{x}v+g'_{t}}}$.

Якщо вважати, що швидкість постійна (це можна зробити, оскільки функції $\ f,g$ не залежать від неї), та використати ідею однорідності простору-часу, то швидкість як функція від $\ f',g'$ не залежить від $\ x,t$. Тоді, беручи частинні похідні по $\ x,t$ від виразу для швидкості, можна отримати:

$\ {\frac {\partial v'}{\partial x}}={\frac {f''_{xx}v+f''_{xt}}{g'_{x}v+g'_{t}}}-{\frac {(g''_{xx}v+g''_{xt})(f'_{x}v+f'_{t})}{(g'_{x}v+g'_{t})^{2}}}={\frac {f''_{xx}v^{2}g'_{x}+f''_{xx}vg'_{t}+f''_{xt}g'_{x}v+f''_{xt}g'_{t}-g''_{xx}f'_{x}v^{2}-g''_{xx}vf'_{t}-g''_{xt}f'_{x}v-g''_{xt}f'_{t}}{(g'_{x}v+g'_{t})^{2}}}=0\Rightarrow$

$\ \Rightarrow v^{2}(f''_{xx}g'_{x}-g''_{xx}f'_{x})+v(f''_{xx}g'_{t}+f''_{xt}g'_{x}-g''_{xx}f'_{t}-g''_{xt}f'_{x})+f''_{xt}g'_{t}-g''_{xt}f'_{t}=0$.

Далі, знову ж таки, можна використати ідею довільності швидкості $\ v$ без зменшення загальності отриманих виразів і занулити її. Звідси

$\ f''_{xt}g'_{t}=g''_{xt}f'_{t}\qquad (.0.2)$,

$\ f''_{xx}g'_{t}+f''_{xt}g'_{x}=g''_{xx}f'_{t}+g''_{xt}f'_{x}\qquad (.0.3)$,

$\ f''_{xx}g'_{x}=g''_{xx}f'_{x}\qquad (.0.4)$.

Аналогічно, для похідної виразу $\ v'$ по часу, можна записати:

$\ {\frac {\partial v'}{\partial t}}={\frac {v^{2}(f''_{xt}g'_{x}-g''_{xt}f'_{x})+v(f''_{xt}g'_{t}+f''_{tt}g'_{x}-g''_{xt}f'_{t}-g''_{tt}f'_{x})+f''_{tt}g'_{t}-g''_{tt}f'_{t}}{(g'_{x}v+g'_{t})^{2}}}=0\Rightarrow$

$\ \Rightarrow f''_{xt}g'_{x}=g''_{xt}f'_{x}\qquad (.0.5)$,

$\ f''_{xt}g'_{t}+f''_{tt}g'_{x}=g''_{xt}f'_{t}+g''_{tt}f'_{x}\qquad (.0.6)$,

$\ f''_{tt}g'_{t}=g''_{tt}f'_{t}\qquad (.0.7)$.

Якщо відняти від $\ (.0.3)(.0.5)$, а від $\ (.0.6)$ - $\ (.0.2)$, можна отримати:

$\ f''_{xx}g'_{t}=g''_{xx}f'_{t}\qquad (.0.8)$,

$\ f''_{tt}g'_{x}=g''_{xx}f'_{x}\qquad (.0.9)$.

Домноживши $\ (.0.2)$ на $\ f'_{t}$, а $\ (.0.8)$ - на $\ f'_{x}$, і після цього віднявши ці вирази, і аналогічно - з домноженням $\ (.0.7)$ на $\ f'_{x}$ і $\ (.0.9)$ - на $\ f'_{t}$, можна отримати, що

$\ f''_{xx}g'_{t}f'_{x}-g''_{xx}f'_{t}f'_{x}-f''_{xx}g'_{x}f'_{t}+g''_{xx}f'_{x}f'_{t}=f''_{xx}(g'_{t}f'_{x}-g'_{x}f'_{t})=0$,

$\ f''_{tt}g'_{t}f'_{x}-g''_{tt}f'_{t}f'_{x}-f''_{tt}g'_{x}f'_{t}+g''_{xx}f'_{t}f'_{x}=f''_{tt}(g'_{t}f'_{x}-g'_{x}f'_{t})=0$.

Вирази у дужках відповідають якобіанам, які не можуть бути рівними нулю. Звідси $\ f''_{tt}=f''_{xx}=0$. Використовуючи ці рівності і вирази $\ (.0.2)-(.0.7)$, можна отримати умови рівності нулю всіх інших частинних похідних другого порядку. Звідси слідує, що перетворення-функції $\ f(x,t),g(x,t)$ повинні бути лінійними.

При нульовому значенні $\ t,t'$ виконується наступна умова:

$\ t=t'=0\Rightarrow x=x'=0$,

тобто, при початку відліку часу початки координат ІСВ збігаються. Це означає рівність нулю констант у $\ (.0.1)$, причому загальність перетворень зменшена не буде (через однорідність простору-часу):

$\ x'=Ax+Bt,\quad t'=Cx+Dt\qquad (.1)$.

Тоді система $\ K$ буде рухатися відносно точки $\ x'=0$ зі зміною координати у $\ x=ut$, а точка $\ x'$ буде рухатися відносно системи $\ x=0$ зі зміною координати у $\ x'=-ut'$. Якщо підставити дані значення у $\ (.1)$, можна знайти величини $\ A,B,C,D$:

${\begin{cases}0=Aut+Bt\Rightarrow B=-Au\qquad (.2)\\t'=Cx+Dt\\\end{cases}}$,

${\begin{cases}-ut'=Bt\Rightarrow B=-{\frac {ut'}{t}}=-uD\qquad (.3)\\t'=Dt\Rightarrow {\frac {t'}{t}}=D\\\end{cases}}$.

З $\ (.2),(.3)$ можна дійти висновку, що $\ A=D$. Можна ввести функції відносних швидкостей:

$\ \gamma (u)=A,\quad \sigma (u)=-{\frac {C}{D}}$.

Тоді $\ (.1)$ прийме вигляд:

${\begin{cases}x'=\gamma (u)[x-ut]\\t'=\gamma (u)[t-\sigma (u)x]\\\end{cases}}\qquad (.4)$.

Для визначення виду функцій треба ввести додаткову аксіоматику.

Нехай інерціальні системи відліку рівноправні [2]. Це означає, що перехід від $\ K$ до $\ K'$ у $\ (4)$ буде таким же, як і від $\ K'$ до $\ K$, і обернене перетворення буде відрізнятися від прямого з точністю до знака відносної швидкості $\ u->-u$. Тоді можна розглянути три ІСВ $\ K_{1},K_{2},K_{3}$, причому $\ u_{K_{2},K_{1}}=u_{1},u_{K_{3},K_{2}}=u_{2}$. Тоді $\ (.4)$ для перетворень між ІСВ прийме вигляд:

${\begin{cases}x_{2}=\gamma _{1}[x_{1}-u_{1}t_{1}]\\t_{2}=\gamma _{1}[t_{1}-\sigma _{1}x_{1}]\\\end{cases}}$,

${\begin{cases}x_{3}=\gamma _{2}[x_{2}-u_{2}t_{2}]=\gamma _{2}\left[\gamma _{1}(x_{1}-u_{1}t_{1})-u_{2}\gamma _{1}(t_{1}-\sigma _{1}x_{1})\right]=\gamma _{1}\gamma _{2}\left[x_{1}(1+u_{2}\sigma _{1})-t_{1}(u_{1}+u_{2})\right]=\gamma _{3}[x_{1}-u_{3}t_{1}]\\t_{3}=\gamma _{2}[t_{2}-\sigma _{2}x_{2}]=\gamma _{2}\left[\gamma _{1}(t_{1}-\sigma _{1}x_{1})-\sigma _{2}\gamma _{1}(x_{1}-u_{1}t_{1})\right]=\gamma _{2}\gamma _{1}\left[t_{1}(1+\sigma _{2}u_{1})+x_{1}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\right]=\gamma _{3}[t_{1}-\sigma _{3}x_{1}]\\\end{cases}}\qquad (.5)$.

Тоді, якщо прирівняти у другому рівнянні $\ (5)$ $\ \gamma _{3}$ до $\ \gamma _{2}\gamma _{1}[t_{1}(1+\sigma _{2}u_{1})]$ та у першому рівнянні $\ \gamma _{3}$ до $\ \gamma _{1}\gamma _{2}[(1+u_{2}\sigma _{1})]$, то можна отримати, що

$\ 1+\sigma _{2}u_{1}=1+u_{2}\sigma _{1}\Rightarrow {\frac {\sigma _{1}}{u_{1}}}={\frac {\sigma _{2}}{u_{2}}}=\alpha =const$.

Тоді, відповідно до принципа рівноправності ІСВ, можна записати, користуючись $\ (4)$:

$\ x=\gamma (-u)[x'+ut']=\gamma (-u)[\gamma (u)(x-ut)+\gamma (u)(t-\sigma (u)x)u]=\gamma (-u)\gamma (u)x(1-u\sigma (u))=$

$\ =\gamma (-u)\gamma (u)x(1-\alpha u^{2})\Rightarrow \gamma (-u)\gamma (u)={\frac {1}{1-\alpha u^{2}}}\qquad (.6)$.

Накінець, якщо ввести принцип ізотропії простору в ІСВ [3], то можна стверджувати, що при інверсіях системи координат $\ (x->-x$, $\ x'->-x',u->-u)$ перетворення $\ (.4)$ не змінять вигляду. Тоді

$\ -x'=\gamma (-u)(-x+ut)$,

з чого видно, що при повторній інверсії цей вираз перейде у початковий (до першої інверсії) тільки за умови, що $\ \gamma (u)$ є парною функцією швидкості, тобто, справджується рівність $\ \gamma (-u)=\gamma (u)$. Тому, застосовуючи $\ (.6)$, можна буде отримати:

$\ \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha u^{2}}}}$.

Очевидно, що $\ \alpha$ буде мати розмірність квадрату швидкості в -1 степені, а от знак цієї константи можна отримати лише експериментально. Експеримент же показує, що знак цієї константи додатній, а отже,

$\ \gamma (u)={\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$,

Тоді $\ (.4)$ приймуть вигляд

$\ x'={\frac {x-ut}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},\qquad t'={\frac {t-{\frac {ux}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (.7)$,

тобто, вигляд одновимірних перетворень Лоренца для координат.

Чотиривимірні покомпонентні перетворення Лоренца

Чотиривимірні покомпонентні перетворення Лоренца.  

Якщо узагальнити перетворення Лоренца на випадок тривимірного простору, причому $\ \mathbf {u} =(u,0,0)$, то вигляд $\ (.0)$ зміниться до

$\ x'=f(x,y,z,t),\quad y'=g(x,y,z,t),\quad z'=F(x,y,z,t),\quad t'=G(x,y,z,t)$.

Використовуючи міркування, наведені у попередньому підрозділі, можна дійти висновку, що при збігові початку координат при початку відліку функції зв'язку координат $\ g,F$ при переході між ІСВ набудуть вигляду

$\ y'=A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}t,\quad z'=A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}t\qquad (.8)$.

Нехай далі для першої рівності розглядається точка $\ y'=0\Rightarrow y=0$, а для другої - $\ z'=0\Rightarrow z=0$ (знову ж таки, через умову однорідності простору-часу загальність функцій через вибір особливих значень координат не зменшується). Тоді рівності

$\ 0=A_{1}x+C_{1}z+D_{1}t,\quad 0=A_{2}x+B_{2}y+D_{2}t$

повинні виконуватись для будь-яких $\ x,y,z,t$. Це означає, що

$\ A_{1}=C_{1}=D_{1}=A_{2}=B_{2}=D_{2}=0$,

а отже, $\ (.8)$ набуде вигляду

$\ y'=Ky,\quad z'=Kz\Rightarrow y={\frac {1}{K}}y',\quad z={\frac {1}{K}}z'$.

причому $\ B_{1}=C_{2}$ як наслідок рівноправності координат $\ y,z$ відносно умови $\ \mathbf {u} =(u,0,0)$.

Отримані рівності зв'язку штрихованих і нештрихованих координат можна спростити, використавши принцип рівноправності ІСВ. Оскільки ІСВ рівноправні, то відносна зміна $\ K$ повинна бути рівна $\ {\frac {1}{K}}$, звідки $\ K=+/-1$. Обирається варіант $\ K=1$, оскільки при $\ K=-1$ формальний перехід від одної ІСВ до такої ж самої призводив би до інверсії осей.

Отже, $\ y'=y,\quad z'=z$. Таким чином, при русі по осі $\ O_{x}$ компоненти $\ y,z$ не змішуються одна з одною, а також - з $\ x,t$, і перетворюються окремо. Це означає також, що коефіцієнти при $\ y,z$ у виразах для $\ x',t'$ рівні нулю. З цього, накінець, слідує, що за описаних вище умов

$\ x'=\gamma (x-ut),\quad y'=z,\quad z'=z,\quad t'=\gamma \left(t-{\frac {ux}{c^{2}}}\right)\qquad (.9)$.

Перетворення Лоренца для радіус-вектора

Перетворення Лоренца для радіус-вектора.  

У довільному випадку, коли радіус-вектор не співнапрямлений з вектором відносної швидкості двох ІСВ, можна отримати більш загальний вигляд перетворень Лоренца, розклавши радіус-вектор на вектор, що паралельний вектору відносної швидкості, та вектор, що перпендикулярний вектору відносної швидкості. Тоді, використовуючи те, що, як слідує з минулого пункту, ортогональні по відношенню до вектора відносної швидкості компоненти радіус-вектора переходять самі у себе, можна отримати:

$\ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{||}+\mathbf {r} _{\perp },\qquad \mathbf {r} _{\perp }'=\mathbf {r} _{\perp },\qquad \mathbf {r} _{||}'={\frac {\mathbf {r} _{||}-\mathbf {u} t}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},\qquad t'={\frac {t-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{||})}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$,

і

$\ t'={\frac {t-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma (t-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}})\qquad (.10)$,

$\ \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{||}'=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{||}+{\frac {\mathbf {r} _{||}-\mathbf {u} t}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{||}+{\frac {\mathbf {r} _{||}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {\mathbf {u} t}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=\left|\Gamma ={\frac {\gamma -1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}\right|=\mathbf {r} +\mathbf {r} _{||}(\gamma -1)-\gamma \mathbf {u} t=\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {r} _{||}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}-\gamma \mathbf {u} t=$

$\ =\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}-\gamma \mathbf {u} t\qquad (.10)$,

які є перетвореннями Лоренца для радіус-вектора.

Інтервал. Геометричний зміст перетворень Лоренца

Інтервал.  

З отриманих перетворень Лоренца елементарно вивести інваріантність величини

$\ c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}=c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta x'^{2}$,

яка називається інтервалом $\ \Delta S$ (звичайно, його можна записати і у вигляді нескінченно малих приростів).

Виведення.  

Для доведення достатньо розписати праву частину у явному вигляді, використовуючи перетворення Лоренца:

$\ c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta x'^{2}={\frac {(t_{2}-{\frac {ux_{2}}{c^{2}}}-(t_{1}-{\frac {ux_{1}}{c^{2}}}))^{2}-(x_{2}-ut_{2}-(x_{1}-ut_{1}))^{2}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {c^{2}\Delta t^{2}-2u\Delta t\Delta x+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\Delta x^{2}-\Delta x^{2}+2u\Delta x\Delta t+u^{2}\Delta t^{2}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}=$

$\ ={\frac {c^{2}\Delta t^{2}-u^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\Delta x^{2}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {(c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2})(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}})}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}$.

Інтервал має зміст відстані між подіями у чотиривимірному просторі-часі. Знак інтервала визначає тип цієї відстані.

Якщо дві події причинно пов'язані, то, приймаючи швидкість розповсюдження «події» рівною $\ U$, можна записати вираз для інтервалу таким чином:

$\ dS^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=|dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=U^{2}dt^{2}|=dt^{2}(c^{2}-U^{2})=c^{2}dt^{2}(1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}})\geqslant 0$,

тобто, квадрат інтервалу завжди додатній. Відповідний інтервал називають часоподібним. Отриманий вираз є квадратом власного часу «події», який є інваріантним відносно будь-якої ІСВ (поняття власного часу тісно пов'язано з принципом найменшої дії).

Якщо ж дана умова не виконується, то інтервал називають простороподібним, і він виражає умову роз'єднаності в просторі подій при їх причинній незалежності.

Геометричний зміст перетворень Лоренца.  

Інтервал $\ S$, який є модулем 4-вектора, компонентами якого є просторовими та часовими координатами - інваріант. При переході від однієї ІСВ до іншої інваріантом його залишають або паралельні переноси, або кручення базиса. Паралельні переноси лише зміщують початок координат, тому не є інтересними. Тоді залишаються лише кручення базиса, які у загальному вигляді при переході від ІСВ А до ІСВ А' можна представити так:

$\ x=x'ch(\Psi )+ct'sh(\Psi )\qquad (1)$,

$\ ct=x'sh(\Psi )+ct'ch(\Psi )\qquad (2)$.

Звичайно, вирази $\ (1),(2)$ залишають величину інтервалу $\ S$ інваріантною:

$\ x^{2}-c^{2}t^{2}=x'^{2}ch^{2}(\Psi )+2x'ct'ch(\Psi )sh(\Psi )+c^{2}t'^{2}sh^{2}(\Psi )-x'^{2}sh^{2}(\Psi )-2x'ct'ch(\Psi )sh(\Psi )-c^{2}t'^{2}ch^{2}(\Psi )=$

$\ (x'^{2}-c^{2}t'^{2})(ch^{2}(\Psi )-sh^{2}(\Psi ))=x'^{2}-c^{2}t'^{2}$.

Доведення вірності даного вигляду перетворень Лоренца.  

Якщо розташувати ІСВ А' на початку координат (тобто, $\ x'=0$) та розділити $\ (1)$ на $\ (2)$, можна отримати:

$\ {\frac {x}{ct}}={\frac {u}{c}}=th(\Psi )\Rightarrow sh(\Psi )={\frac {u}{c{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}},ch(\Psi )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (3)$.

Застосовуючи $\ (3)$ до $\ (1),(2)$, можна отримати:

$\ x={\frac {x'+{\frac {ct'u}{c}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {x'+t'u}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},y=y',z=z',t={\frac {{\frac {x'u}{c^{2}}}+t'}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (4)$.

Вираз (4) є виразом для перетворень Лоренца просторової та часової координат.

Отже, узагальнюючи написане, можна стверджувати, що з набору аксіом, які були використані при виведенні перетворень Лоренца, слідує, що ми живемо у локально псевдоевклідовому просторі розмірності $\ 3+1$, причому інтервал набуває також змісту довжини 4-векторів у такому просторі.

Перетворення Лоренца для швидкості. Інваріантність фундаментальної швидкості та максимальність швидкості розповсюдження взаємодії

Перетворення Лоренца для швидкості. Інваріантність фундаментальної швидкості та максимальність швидкості розповсюдження взаємодії.  

Якщо продиференціювати вирази $\ (.9)$ та розділити перший вираз на останній, можна отримати

$\ {\frac {dx'}{dt'}}=v'_{x}={\frac {({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dt}{dt}}u){\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{({\frac {dx}{dt}}{\frac {u}{c^{2}}}-{\frac {dt}{dt}}){\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}={\frac {u-v_{x}}{1-{\frac {uv_{x}}{c^{2}}}}}\qquad (.11)$,

$\ {\frac {dy',z'}{dt'}}=v'_{y,z}={\frac {{\frac {dy,z}{dt}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {dt}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}{\frac {u}{c^{2}}}}}={\frac {v_{y,z}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}}}}\qquad (.11)$,

що є перетвореннями Лоренца для компонент швидкості.

Якщо продиференціювати вирази $\ (.10)$ та розділити другий вираз на перший, можна отримати

$\mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}-\gamma \mathbf {u} }{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}})}}\qquad (.12)$,

що є перетвореннями Лоренца для вектора швидкості.

З $\ (.11)$ напряму слідує інваріантність швидкості, що рівна $\ c$, відносно будь-якої ІСВ.  

Для доведення цього доцільно розглянути дві ІСВ $\ A,A'$, у яких тіло має швидкість $\ {u_{0}}_{{u_{0}}_{x},{u_{0}}_{y},{u_{0}}_{z}},{u_{1}}_{{u_{1}}_{x},{u_{1}}_{y},{u_{1}}_{z}}$ відповідно, причому вектор швидкостей, для спрощення, у обох випадках орієнтований по осі $\ x$. Тоді, відповідно до перетворень Лоренца, при переході до ІСВ $\ A'$, що рухається зі швидкістю $\ u$ відносно ІСВ $\ A$, компоненти швидкості змінюються таким чином:

$\ {u_{1}}_{x}={\frac {{u_{0}}_{x}-u}{1-{\frac {{u_{0}}_{x}u}{c^{2}}}}}\qquad (.13)$;

$\ {u_{1}}_{y}={\frac {{u_{0}}_{y}}{1-{\frac {{u_{0}}_{x}u}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\qquad (.14)$;

$\ {u_{1}}_{z}={\frac {{u_{0}}_{z}}{1-{\frac {{u_{0}}_{x}u}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\qquad (.15)$.

Оскільки

$\ u_{0}^{2}={u_{0}}_{x}^{2}+{u_{0}}_{y}^{2}+{u_{0}}_{z}^{2}=c^{2}$,

$\ u_{1}^{2}={u_{1}}_{x}^{2}+{u_{1}}_{y}^{2}+{u_{1}}_{z}^{2}\qquad (.16)$,

то, з урахуванням $\ (.13)-(.15)$ і початкових припущень, вираз $\ (.16)$ можна переписати:

$\ u_{1}^{2}={u_{1}}_{x}^{2}\Rightarrow u_{1}={u_{1}}_{x}={\frac {{u_{0}}_{x}-u}{1-{\frac {{u_{0}}_{x}u}{c^{2}}}}}$.

Тоді можна виразити швидкість $\ u_{1}$:

$\ u_{1}={\frac {{c^{2}(u_{0}}_{x}-u)}{c^{2}-{u_{0}}_{x}u}}={\frac {c^{2}(c-u)}{c(c-u)}}=c$,

з чого видно, що швидкість $\ c$ інваріантна відносно будь-якої ІСВ.

Аналогічно можна отримати даний результат у більш загальному випадку для модуля вектора швидкості світла. Нехай у перетвореннях для вектора швидкості $\ \mathbf {v} =\mathbf {c}$. Тоді, взявши модуль від перетворення для вектора швидкості і об'єднавши, у отриманій підкореневій рівності, перший доданок з останнім, другий - з четвертим, а третій - з п'ятим, можна отримати

$\ |\mathbf {v} '|={\sqrt {(\mathbf {v} '\cdot \mathbf {v} ')}}={\frac {1}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}{\sqrt {\mathbf {v} ^{2}+2{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-2\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {\Gamma ^{2}}{c^{4}}}u^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}-2{\frac {\Gamma \gamma }{c^{2}}}u^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+\gamma ^{2}u^{2}}}=$

$\ =|\mathbf {u} =\mathbf {c} |={\frac {1}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{2}}}\right)}}{\sqrt {c^{2}\left(1+\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-2\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )\left(1+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )\left(2+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)}}=$

$\ =\left|1+\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma ^{2},\quad 2+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}=1+\gamma ={\frac {1+\gamma }{\gamma ^{2}}}\gamma ^{2}={\frac {\gamma ^{2}}{\Gamma }},\quad 1+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma \right|={\frac {\gamma }{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{2}}}\right)}}{\sqrt {c^{2}-2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )+{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )^{2}}}=$

$\ =c{\frac {\sqrt {1-2{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{4}}}}}{1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {c} )}{c^{2}}}}}=c$,

що й треба було довести.

Наступна аксіома — принцип причинності [4], який накладає умови на максимальність швидкості розповсюдження взаємодії. Нехай подія, що відбулася в т. $\ x_{2}$, є наслідком події, що відбулася в т. $\ x_{1}$, швидкість розповсюдження взаємодії даної події є $\ U$. Тоді, в ІСВ K,

$\ {\frac {x_{2}-x_{1}}{U}}=t_{2}-t_{1}\Rightarrow x_{2}-x_{1}=(t_{2}-t_{1})U\qquad (.17)$.

Якщо ж записати для ІСВ К' $\ (.9)$, то, з урахуванням принципа причинності, можна буде отримати:

$\ t_{2}'-t_{1}'={\frac {t_{2}-t_{1}-{\frac {u}{c^{2}}}(x_{2}-x_{1})}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=|(.17)|={\frac {(t_{2}-t_{1})(1-{\frac {uU}{c^{2}}})}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\geqslant 0\Rightarrow 1-{\frac {uU}{c^{2}}}\geqslant 0\Rightarrow U\leqslant c$,

з чого видно, що швидкість $\ c$ є максимальною швидкістю розповсюдження взаємодії ($\ u<c$, оскільки інакше перетворення Лоренца були б комплексними).

Залишається лише припустити, що величина $\ c$ чисельно рівна швидкості світла у вакуумі (підстави вибрати за цю константу саме швидкість світла у вакуумі були отримані, в основному, історично — через теорію Максвелла та досліди Майкельсона-Морлі).

Якщо ж додати принцип абсолютності одночасності подій відносно різних ІСВ, можна буде отримати класичні перетворення Галілея:

$\ \Delta t=0\Rightarrow \Delta t'={\frac {\Delta t-{\frac {\Delta xu}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=\Delta t=0\Rightarrow c=\infty \Rightarrow x'=x-ut$,

а отже, якщо класична механіка сформульована без протиріч, то релятивістська — також, оскільки вони базуються на однаковому наборі аксіом.

Перетворення Лоренца для сили

Перетворення Лоренца для сили.  

У рамках СТВ загальний вираз для вектора сили дається похідною від вектора імпульсу:

$\ \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}({\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}})={\frac {m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}+m\mathbf {v} {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}{\frac {d}{d\mathbf {v} }}({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}})}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {m\mathbf {v} (\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}})}{c^{2}(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}\qquad (.18)$.

Для величини $\ {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$ не вводиться ніякого позначення, оскільки у релятивістській фізиці, як видно із $\ (.18)$, вона не може бути названою прискоренням, виходячи із визначення сили як $\ \mathbf {F} =m\mathbf {a}$.

Сила, як 3-вектор, не є інваріантною у рамках СТВ. Для визначення закону зв'язку векторів сили відносно спостерігачів у ІСВ $\ K,K'$ для сили, вектор якої співнапрямлений з вектором відносної швидкості ІСВ (який задає вісь $\ O_{x}$), треба послідовно знайти диференціали

$\ dE'={\frac {dE-dp_{x}u}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},\qquad dp_{x}'={\frac {dp_{x}-{\frac {dEu}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (.19)$.

Для початку, похідна від енергії по часу рівна

$\ {\frac {dE}{dt}}=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )$.

Виведення.  

$\ {\frac {dE}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}{\frac {d}{d\mathbf {v} }}{\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}{\frac {m\mathbf {v} }{(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}{\frac {m\mathbf {v} -m\mathbf {v} {\frac {v^{2}}{c^{2}}}+m\mathbf {v} {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {m(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} )}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {mv^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} )}{c^{2}(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )$.

Далі треба знайти власний час частинки, інваріантний відносно будь-якої ІСВ. В принципі, вираз для нього уже був отриманий при аналізі інтервалу причинно пов'язаних подій, але доцільно буде отримати інше виведення. Для цього можна записати перетворення Лоренца для часу:

$\ {\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}dt'={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt\qquad (.20)$.

Виведення.  

$\ dt'=\gamma \left(dt-{\frac {udx}{c^{2}}}\right)=\gamma (1-{\frac {vu}{c^{2}}})dt=\left|\gamma \left(1-{\frac {vu}{c^{2}}}\right)={\sqrt {\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}-v'^{2}}}}\right|={\sqrt {\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}-v'^{2}}}}dt\Rightarrow {\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}dt'={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt$.

Проміжне перетворення $\ \gamma \left(1-{\frac {vu}{c^{2}}}\right)={\sqrt {\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}-v'^{2}}}}$ було отримано так (приймається, що вісь $\ O_{x}$ співнапрямлена з вектором відносної швидкості ІСВ):

$\ v'^{2}=v_{x}'^{2}+v_{y}'^{2}+v_{z}'^{2}={\frac {v^{2}+u^{2}-2v_{x}u-(v_{y}^{2}+v_{z}^{2}){\frac {u^{2}}{c^{2}}}}{(1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}})^{2}}}\Rightarrow v'^{2}-c^{2}={\frac {v^{2}+u^{2}-2v_{x}u-(v_{y}^{2}+v_{z}^{2}){\frac {u^{2}}{c^{2}}}}{(1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}})^{2}}}-c^{2}=$

$={\frac {v^{2}+u^{2}-2v_{x}u-(v_{y}^{2}+v_{z}^{2}){\frac {u^{2}}{c^{2}}}-c^{2}+2v_{x}u-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}}}{(1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}})^{2}}}={\frac {v^{2}+u^{2}-{\frac {v^{2}u^{2}}{c^{2}}}-c^{2}-{\frac {v_{x}^{2}u^{2}}{c^{2}}}}{(1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}})^{2}}}={\frac {c^{2}({\frac {u^{2}}{c^{2}}}-1)+v^{2}(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}})}{(1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}})^{2}}}=$

$\ ={\frac {(v^{2}-c^{2})(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}})}{(1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}})^{2}}}\Rightarrow 1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}={\frac {(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}})}{(1-{\frac {v_{x}u}{c^{2}}})^{2}}}$.

Якщо розділити $\ (.19)$ на $\ (.20)$, можна буде отримати перетворення Лоренца для компонент сили:

$\ {\frac {(\mathbf {F} '\cdot \mathbf {v} ')}{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )-F_{x}u}{{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

$\ {\frac {F_{x}'}{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {F_{x}-{\frac {(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )u}{c^{2}}}}{{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

Виведення.  

$\ {\frac {dE'}{{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}dt'}}={\frac {(\mathbf {F} '\cdot \mathbf {v} ')}{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {dE-dp_{x}u}{{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt}}={\frac {(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )-F_{x}u}{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}\Rightarrow {\frac {(\mathbf {F} '\cdot \mathbf {v} ')}{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )-F_{x}u}{{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

$\ {\frac {dp_{x}'}{{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}dt'}}={\frac {F_{x}'}{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {dp_{x}-{\frac {dEu}{c^{2}}}}{{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt}}={\frac {F_{x}-{\frac {(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )u}{c^{2}}}}{{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\Rightarrow {\frac {F_{x}'}{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {F_{x}-{\frac {(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )u}{c^{2}}}}{{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

Векторними перетвореннями сили при переході між ІСВ є, аналогічно до перетворень вектора швидкості як похідній по часу від перетворень радіус-вектора, похідна від виразу для перетворення вектора імпульсу по власному часу:

$\ {\frac {d\mathbf {p} '}{{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}dt'}}={\frac {d\mathbf {p} -\gamma {\frac {\mathbf {u} dE}{c^{2}}}+\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {p} )}{c^{2}}}}{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt}}\Rightarrow {\frac {\mathbf {F} '}{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {\mathbf {F} -\gamma {\frac {\mathbf {u} (\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}+\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} )}{c^{2}}}}{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt}}$.

Обернене перетворення має такий вигляд:

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {\mathbf {F} '+\gamma {\frac {\mathbf {u} (\mathbf {F} '\cdot \mathbf {v} ')}{c^{2}}}+\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}}\Rightarrow |{\frac {\sqrt {1-{\frac {v'^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}}}|\Rightarrow {\frac {\mathbf {F} {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}}}=\mathbf {F} '+\gamma {\frac {\mathbf {u} (\mathbf {F} '\cdot \mathbf {v} ')}{c^{2}}}+\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')}{c^{2}}}$.

Аналогічно з інтервалом та 4-вектором енергії-імпульсу, для сили є власний 4-вектор з компонентами, які отримуються шляхом диференціювання компонент 4-вектора енергії-імпульса по власному часу:

$\ f^{\mu }={\frac {dp^{\mu }}{ds}}={\frac {dp^{\mu }}{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt}}={\frac {({\frac {dE}{c}},dp_{x},dp_{y},dp_{z})}{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt}}=\left({\frac {(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\quad {\frac {F_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad {\frac {F_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad {\frac {F_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$.

Форми запису перетворень Лоренца

Матричний запис перетворень Лоренца

Часто, особливо в англомовній літературі, перетворення Лоренца записують у вигляді матриці повороту ||Λ^α′_β||, що переводить компоненти 4-вектора x^β системи K в компоненти 4-вектора x^α′ = Λ^α′_βx^β, системи K′:

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}&-{\frac {V/c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}&0&0\\-{\frac {V/c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$.

Формули перетворень Лоренца з довільною орієнтацією осей систем

У випадку коли осі x координатних систем не паралельні швидкості формули перетворення були отримані Герглотцем у 1911 році. Для виводу цих формул зручно розділити радіус-вектор частки r в системі K на компоненту r_||, яка паралельна швидкості V відносного руху інерціальних систем, та компоненту r_⊥, яка перпендикулярна V. Тоді при переході до іншої системи K′ буде змінюватись тільки паралельна складова r_||:

$\mathbf {r_{\|}'} ={\frac {\mathbf {r_{\|}} -\mathbf {V} t}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\quad \mathbf {r_{\perp }'} =\mathbf {r_{\perp }} ,\quad t'={\frac {t-(\mathbf {V,r_{\|}} )/c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}$

Остаточно для радіус-вектора частки в системі K′ r′ = r′_|| + r′_⊥ формули будуть виглядати так:

$\mathbf {r'} =\mathbf {r} +{\frac {1}{V^{2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}-1\right)(\mathbf {r,V} )\mathbf {V} -{\frac {\mathbf {V} t}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$,

$t'={\frac {t-(1/c^{2})(\mathbf {r,V} )}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$.

Гіперболічна форма запису

З математичного погляду інтервал між двома подіями ((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-(cΔt)²) можна розглядати як аналог «відстані» між двома точками в чотиривимірному просторі Мінковського. Отже, згідно з визначенням, перетворення Лоренца мають зберігати незмінним будь-який інтервал у цьому просторі. Лінійними перетвореннями з такими властивостями є лише паралельні переноси та обертання системи координат. Паралельні переноси та обертання в площинах xy, yz, zx зводяться до переносу початку відліку простору та часу і звичайних просторових поворотів. Останні (повороти системи координат у трьох площинах tx, ty, tz) і є перетвореннями Лоренца.

Якщо ввести «кут повороту» ψ, такий що

${\text{sh}}\,\psi ={\frac {V/c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}},\quad {\text{ch}}\,\psi ={\frac {1}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$,

то перетворення Лоренца для систем K та K′ із паралельними осями можна записати в гіперболічній формі:

ct′ = -x shψ + ct chψ,

x′ = x chψ — ct shψ,

y′ = y,

z′ = z.

Ці формули відрізняються від звичних формул перетворення координат при поворотах (в евклідовому просторі) заміною тригонометричних функцій гіперболічними. У цьому виявляються відмінність псевдоевклідового простору Мінковського від звичайного евклідового.

Перетворення Лоренца для електромагнітного поля

Релятивістські перетворення для компонент векторів $\ \mathbf {E} ,\mathbf {B}$ тензора електромагнітного поля при переході від однієї ІСВ до іншої у псевдоевклідовому просторі-часі:

$\ \mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )$,

$\ \mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )$,

де $\ \mathbf {u} =const$ - вектор відносної швидкості між ІСВ,

$\ \Gamma ={\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}={\frac {\gamma -1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}$.

Перетворення можна отримати, маючи вираз для сили Лоренца та вираз для перетворення 3-вектора сили при переході між ІСВ:

$\ \mathbf {F} =q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]\qquad (.1)$.

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}=\mathbf {F} '-\gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {v} '\cdot \mathbf {F} ')+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')\qquad (.2)$.

Із перетворень видно, що вектори напруженості та індукції не є компонентами будь-яких 4-векторів, а входять до деякого антисиметричного 4-тензору (перетворення саме такого вигляду можна отримати у рамках СТВ для антисиметричних тензорів).

Отримання перетворень для напруженості електричного поля

Перетворення Лоренца для напруженості електричного поля.  

В силу принципу відносності вибір ІСВ не може позначитися на загальності перетворень, що були отримані для переходу між обраними ІСВ. Це дозволяє спростити вирази, наприклад, для перетворення 3-вектора сили при переході до нової ІСВ.

Нехай у ІСВ А пробний заряд покоїться, $\ \mathbf {v} =0$. Тоді у ІСВ А', що рухається із швидкістю $\ \mathbf {u}$, заряд має швидкість $\ \mathbf {v} '=-\mathbf {u}$. Тоді, використовуючи $\ (.2)$, можна записати:

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\gamma }}=\mathbf {F} '-\gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')=\mathbf {F} '+(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} '){\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\Gamma -\gamma )=\left|\Gamma ={\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\right|=\mathbf {F} '-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} '){\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {\gamma }{1+\gamma }}=\mathbf {F} '-{\frac {\Gamma }{\gamma }}{\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')$.

Звідси слідує, що

$\ \mathbf {F} =\gamma \mathbf {F} '-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')\qquad (.3)$.

З урахуванням того, що відносно ІСВ А сила $\ \mathbf {F}$, що діє на пробний заряд $\ q$, рівна

$\ \mathbf {F} =q\mathbf {E}$,

а відносно ІСВ А' ця ж сила рівна

$\ \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '-{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$,

можна перетворити $\ (.3)$:

$\ q\mathbf {E} =q\left[\gamma \left(\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)-\Gamma {\frac {u}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\right]$,

де враховано, що $\ (\mathbf {u} \cdot [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ])=0$ у доданку при $\ \Gamma$.

Отже,

$\ \mathbf {E} =\gamma \left(\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\qquad (.4)$,

що і є шуканим перетворенням Лоренца для вектора напруженості електричного поля.

Обернене перетворення отримується шляхом замін

$\ \mathbf {u} ->-\mathbf {u} ,\quad \mathbf {E} '->\mathbf {E} ,\quad \mathbf {E} ->\mathbf {E} '\quad \quad \mathbf {B} '->\mathbf {B}$:

$\ \mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )\qquad (.5)$.

Доведення.  

Нехай, навпаки,

$\ \mathbf {v} =\mathbf {u} ,\quad \mathbf {v} '=0,\quad \mathbf {F} '=q\mathbf {E} ',\quad \mathbf {F} =q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$.

Тоді вираз $\ (.2)$ набуде вигляду:

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\gamma \left(1-{\frac {\mathbf {u} ^{2}}{c^{2}}}\right)}}={\frac {\gamma ^{2}\mathbf {F} }{\gamma }}=\gamma \mathbf {F} =\mathbf {F} '+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')\Rightarrow \gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)=\mathbf {E} '+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')\Rightarrow \left|(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )\right|\Rightarrow$

$\ \Rightarrow \mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )$.

Проміжний вираз $\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )$ був отриманий із виразу $\ (.4)$ наступним чином:

$\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )=\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')-\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )\Rightarrow (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )={\frac {\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')}{1+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}=\left|\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma -1\right|={\frac {\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')}{\gamma }}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\qquad (.6)$.

З цього виразу, окремо, слідує інваріантність продольної (до вектора швидкості пробного заряду) компоненти напруженості поля. Дійсно, напруженість поля не залежить від швидкості пробного заряду, а отже, вибір $\ \mathbf {v} =0$ не обмежує загальності $\ (.6)$.

Якщо вибрати орієнтацію осей ІСВ таким чином, що $\ \mathbf {u} =(u,0,0)$, то $\ (.5)$ зручно також розписати покомпонентно. Дійсно,

$\ \mathbf {E} '=\gamma \mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u&0&0\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{vmatrix}}-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}uB_{x}=\gamma (E_{x},E_{y},E_{z})+{\frac {1}{c}}(0,-uB_{z},uB_{y})-\Gamma {\frac {u}{c^{2}}}B_{x}(u,0,0)=$

$\ =\left(\left(\gamma -\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)E_{x},\gamma \left(E_{y}-{\frac {u}{c}}B_{z}\right),\gamma \left(E_{z}+{\frac {u}{c}}B_{y}\right)\right)=\left|\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma -1\right|=\left(E_{x},\gamma \left(E_{y}-{\frac {u}{c}}B_{z}\right),\gamma \left(E_{z}+{\frac {u}{c}}B_{y}\right)\right)\qquad (.7)$.

Перетворення Лоренца для вектора індукції магнітного поля

Перетворення Лоренца для індукції магнітного поля.  

Маючи перетворення для напруженості електричного поля, можна знайти перетворення для індукції магнітного поля. Це не є випадковістю, оскільки індукція визначається через швидкість ІСВ і напруженість електричного поля.

Для початку, вираз $\ (.5)$ можна домножити зліва на швидкість ІСВ $\ \mathbf {u}$, після чого - підставити зправа вираз $\ (.4)$. Тоді

$\ \mathbf {B} =\gamma \left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} '\cdot \mathbf {u} )\qquad (.8)$.

Доведення.  

$\ [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']=\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]+{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]]=\left|(.4)\right|=\gamma ^{2}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']-{\frac {\gamma ^{2}}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']]+{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]]\Rightarrow$

$\ \Rightarrow (\gamma ^{2}-1)[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']-{\frac {\gamma ^{2}}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']]+{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]]=\left|\gamma ^{2}-1={\frac {u^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{2}\right|={\frac {u^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{2}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']-{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')+\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c}}\mathbf {B} '+{\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )-\gamma {\frac {u^{2}}{c}}\mathbf {B} =$

$\ =\left|(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ),\quad 1-\gamma =-\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right|={\frac {u^{2}}{c}}\gamma ^{2}\left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)+(1-\gamma )\gamma \mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')-{\frac {u^{2}}{c}}\gamma \mathbf {B} =0\Rightarrow$

$\ \Rightarrow {\frac {u^{2}}{c}}\gamma \mathbf {B} ={\frac {u^{2}}{c}}\gamma ^{2}\left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)-\Gamma \gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}{\frac {\mathbf {u} }{c}}(\mathbf {B} '\cdot \mathbf {u} )\Rightarrow \mathbf {B} =\gamma \left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} '\cdot \mathbf {u} )$.

Проміжний вираз $\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )$ можна вивести наступним чином.

Нехай $\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=0$. Перетворення $\ (.2)$ матиме вигляд:

$\ \mathbf {F} =\gamma \mathbf {F} '-\gamma ^{2}{\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {v} '\cdot \mathbf {F} ')+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')$.

Якщо його векторно домножити зліва на $\ \mathbf {u}$, то зправа залишаться лише один доданок:

$\ [\mathbf {u} \times \mathbf {F} ]=\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {F} ']$.

Тоді, використовуючи вираз $\ (.4)$, перетворення Лоренца для вектора швидкості за цієї умови і вирази для сил $\ \mathbf {F} ,\mathbf {F} '$, можна записати:

$\ \mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} +\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )-\gamma \mathbf {u} }{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}={\frac {\mathbf {v} }{\gamma }}-\mathbf {u} \qquad (.9)$.

Тоді зліва можна буде отримати

$\ q[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]+{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]]=\left|(.4)\right|=q\left[\mathbf {u} \times \left(\gamma (\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} '])-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\right)\right]+{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]]$,

а зправа, використовуючи $\ (.9)$,

$\ =q\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']+{\frac {q\gamma }{c}}\left[\mathbf {u} \times \left[\left({\frac {\mathbf {v} }{\gamma }}-\mathbf {u} \right)\times \mathbf {B} \right]\right]\Rightarrow \gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']-{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']]+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]]=\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {B} ']]-{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']]$.

Прирівнявши ліву і праву частини, можна буде отримати, що

$\ \Rightarrow {\frac {1}{c}}\mathbf {v} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )-{\frac {1}{c}}\mathbf {B} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )={\frac {1}{c}}\mathbf {v} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')-{\frac {1}{c}}\mathbf {B} '(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\Rightarrow (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')$.

Цей вираз, знову ж таки, означає інваріантність продольної (по відношенню до вектора швидкості заряда) компоненти вектора магнітної індукції при перетвореннях Лоренца.

Аналогічно до перетворень із напруженістю електричного поля, із $\ (.8)$ можна отримати:

$\ \mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {u} )\qquad (.10)$.

Прийнявши $\ \mathbf {u} =(u,0,0)$, $\ (.10)$ можна розписати покомпонентно:

$\ \mathbf {B} '=\gamma \mathbf {B} -{\frac {\gamma }{c}}(0,-uE_{z},uE_{y})-{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(u,0,0)uB_{x}=\left(B_{x}\left(\gamma -\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right),\gamma \left(B_{y}+{\frac {u}{c}}E_{z}\right),\gamma \left(B_{z}-{\frac {u}{c}}E_{y}\right)\right)=$

$\ =\left(B_{x},\gamma \left(B_{y}+{\frac {u}{c}}E_{z}\right),\gamma \left(B_{z}-{\frac {u}{c}}E_{y}\right)\right)\qquad (.11)$.

Інваріанти перетворень Лоренца для полів та їх зміст

Інваріанти перетворень Лоренца електромагнітного поля.  

Використовуючи $\ (.7),(.11)$, можна показати інваріантність наступних виразів:

$\ (\mathbf {E} '\cdot \mathbf {B} '),\quad \mathbf {E} '^{2}-\mathbf {B} '^{2}$.

Доведення першого виразу.  

$\ (\mathbf {E} '\cdot \mathbf {B} ')=E_{x}B_{x}+E_{y}B_{y}+E_{z}B_{z}=E_{x}B_{x}+\gamma ^{2}\left(E_{y}-{\frac {u}{c}}B_{z}\right)\left(B_{y}+{\frac {u}{c}}E_{z}\right)+\gamma ^{2}\left(E_{z}+{\frac {u}{c}}B_{y}\right)\left(B_{z}-{\frac {u}{c}}E_{y}\right)=$

$\ =E_{x}B_{x}+E_{y}B_{y}\gamma ^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+E_{z}B_{z}\gamma ^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {u}{c}}\gamma ^{2}E_{y}E_{z}-{\frac {u}{c}}\gamma ^{2}B_{y}B_{z}-{\frac {u}{c}}\gamma ^{2}E_{y}E_{z}+{\frac {u}{c}}\gamma ^{2}B_{y}B_{z}=(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} )=inv$.

Доведення другого виразу.  

$\ \mathbf {E} '^{2}-\mathbf {B} '^{2}=(\mathbf {E} '-\mathbf {B} ')(\mathbf {E} '+\mathbf {B} ')=(\left[E_{x}-B_{x},\gamma \left(E_{y}-B_{y}-{\frac {u}{c}}(B_{z}+E_{z})\right),\gamma \left(E_{z}-B_{z}+{\frac {u}{c}}(E_{y}+B_{y})\right)\right]\cdot$

$\ \cdot \left[E_{x}+B_{x},\gamma \left(E_{y}+B_{y}+{\frac {u}{c}}(E_{z}-B_{z})\right),\gamma \left(E_{z}+B_{z}+{\frac {u}{c}}(B_{y}-E_{y})\right)\right])=$

$\ =E_{x}^{2}-B_{x}^{2}+\gamma ^{2}E_{y}^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}B_{y}^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+\gamma ^{2}E_{z}^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}B_{z}^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+$

$\ +\gamma ^{2}{\frac {u}{c}}\left[E_{y}E_{z}-E_{y}B_{z}-2E_{z}B_{y}+B_{y}B_{z}-E_{y}B_{z}-E_{y}E_{z}-B_{y}B_{z}+2E_{z}B_{y}-E_{y}E_{z}-B_{y}B_{z}+E_{y}B_{z}+E_{y}E_{z}+E_{y}B_{z}+B_{y}B_{z}\right]=$

$\ =\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}=inv$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$