Відкрити головне меню

Матриця поворотуматриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.

В новій системі координат вектор переходить у вектор Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок

Цей зв'язок визначається матрицею повороту

ВластивостіРедагувати

  • Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то  
отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:
  (обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).
  • Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то
  (детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).
  • Добутком матриць повороту є матриця повороту:
 
 

Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).

  • Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:
 

Матриця повороту на площиніРедагувати

 
Поворот в площині на кут   переводить точку   в точку  

У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд

 

де   — кут повороту проти годинникової стрілки.

Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного множення матриць,

 .

Тож нові координати (x',y') точки (x,y) після обертання будуть наступні:

 ,
 .

Матриця повороту в тривимірному просторіРедагувати

  • Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:
 
 
  • Матриця повороту відносно одиничного вектора   на кут  :
 

де

 матриця векторного добутку,
 тензорний добуток векторів (результатом є матриця).

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:

перший — проектор на лінію вектора u,
інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.

Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.

Матриця повороту в просторі МінковськогоРедагувати

У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.

Дивись такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ДжерелаРедагувати