Матриця повороту

Матриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.

В новій системі координат вектор $\ x\,$ переходить у вектор $x^{\prime }.$ Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок

$\ x^{\prime }=R\cdot x.$

Цей зв'язок визначається матрицею повороту $\ R.$

Властивості

• Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то $(x^{\prime })^{T}\cdot x^{\prime }=x^{T}R^{T}\cdot Rx=x^{T}\cdot x,$

отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:

$\ R^{-1}=R^{T}$ (обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).

• Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то

$\ \det R=+1$ (детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).

• Добутком матриць повороту є матриця повороту:

$(R_{1}R_{2})^{T}(R_{1}R_{2})=R_{2}^{T}(R_{1}^{T}R_{1})R_{2}=I,$

$\ \det(R_{1}R_{2})=(\det R_{1})(\det R_{2})=+1.$

Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).

• Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:

$R({\vec {a}}\times {\vec {b}})=R{\vec {a}}\times R{\vec {b}}.$

Матриця повороту на площині

Поворот в площині на кут $\varphi$ переводить точку $(x,y)$ в точку $(x',y')$

У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд

$R(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}},$

де $\varphi$ — кут повороту проти годинникової стрілки.

Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного множення матриць,

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}$.

Тож нові координати (x',y') точки (x,y) після обертання будуть наступні:

$x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi \,$,

$y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi \,$.

Матриця повороту в тривимірному просторі

• Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:

$R_{x}(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{bmatrix}},\qquad R_{y}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &0&\sin \varphi \\0&1&0\\-\sin \varphi &0&\cos \varphi \\\end{bmatrix}},\qquad R_{z}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}.$

• Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як

$\ R=R_{z}(\varphi )\cdot R_{y}(\theta )\cdot R_{x}(\psi ).$

• Матриця повороту відносно одиничного вектора $\mathbf {u} =(x,y,z)$ на кут $\varphi$:

$R_{\mathbf {u} }(\varphi )=\mathbf {uu} ^{T}+(I-\mathbf {uu} ^{T})\cos \varphi +{\big [}\mathbf {u} {\big ]}_{\times }\sin \varphi ,$

де

${\big [}\mathbf {u} {\big ]}_{\times }$ — матриця векторного добутку,

$\mathbf {u\otimes u} =\mathbf {uu} ^{T}$ — тензорний добуток векторів (результатом є матриця).

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:

перший — проектор на лінію вектора u,

інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.

Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.

Матриця повороту в просторі Мінковського

У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.

Див. також

• Кватерніони і повороти простору
• Унітарна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Ланкастер П.. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations. — 4. — М: : The Johns Hopkins University Press, 2013. — 756 с.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Матриця повороту(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.