Псевдоевклідів простір

Псевдоевклідів простір — скінченномірний дійсний векторний простір або афінний простір з невиродженним індефінітним скалярним добутком, який називають також індефінітною метрикою. Індефінітна метрика не є метрикою у сенсі визначення метричного простору, а являє собою частковий випадок метричного тензора.

Найважливішим прикладом псевдоевклідового простору є простір Мінковського.

Сигнатура псевдоевклідового просторуРедагувати

Обравши відповідний базис векторного псевдоевклідового простору  , завжди можна домогтися того, щоб індефінітний скалярний добуток цього простору мав вигляд

 

де   та   — вектори простору  . Зокрема, скалярний квадрат вектора має вигляд

 

і може бути як додатнім, так і від'ємним числом, а також нулем (навіть для ненульового вектора  ). Відповідно, довжина вектора  , визначена рівністю

 

є або дійсним додатнім, або чисто уявним числом, або нулем.

Аналогічно, вибором репера завжди можна домогтися того, щоб відстань між точками  -вимірного афінного псевдоевклідового простору з координатами   і   записувалось у вигляді

 

Базиси і репери з такою властивістю називаються ортонормованими.

Пара чисел   (які задають кількість базисних векторів дійсної і чисто уявної довжини, відповідно) не залежить від вибору ортонормованого базису або репера (закон інерції Сільвестра) і називається сигнатурою псевдоевклідового простору.

Псевдоевклідові простори з різними сигнатурами не ізометричні один одному. Утім, простір із сигнатурою   може бути перетворений в простір з сигнатурою   зміною знаку скалярного добутку, і тому відмінності між такими просторами зазвичай не роблять: зокрема, простір Мінковського в різних джерелах визначається або як простір сигнатури  , або як простір сигнатури  . Таким чином, кожному виміру   відповідає   (де прямі дужки означають взяття цілої частини) різних  -вимірних псевдоевклідових просторів.

Ізотропні вектори, напрямки, конусиРедагувати

Важливою особливістю просторів з індефінітною метрикою є наявність ненульових векторів, які мають нульову довжину. Такі вектори (а також прямі, напрямними векторами яких вони є) називаються ізотропними або світлоподібними (останнє найменування частіше використовується у фізиці, воно пов'язане з простором Мінковського). Підпростір векторного псевдоевклідова простору називається ізотропним, якщо він повністю складається з ізотропних векторів.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова векторного простору називається ізотропним конусом (або світловим конусом) цього простору. Світловий конус простору сигнатури   не має «граней», тобто ізотропних підпросторів вимірності понад 1.[1]

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова афінного простору, відкладених від довільної фіксованої точки, називається ізотропним конусом (або світловим конусом) простору в цій точці. Ця множина справді є конусом (в узагальненому сенсі цього поняття) з вершиною в цій точці. Ізотропні конуси псевдоевклідового афінного простору з вершинами в різних точках можна отримати один з одного за допомогою паралельного перенесення.

Зокрема, псевдоевклідова векторна площина має рівно два ізотропних напрямки. В ортонормованому базисі, де скалярний квадрат вектора набуває вигляду   ізотропні напрямки — прямі   тому ізотропний конус складається з об'єднання цих двох прямих.

Тривимірний псевдоевклідовий векторний простір має нескінченну кількість ізотропних напрямків. В ортонормованому базисі, де скалярний квадрат вектора набуває вигляду   ізотропні напрямки — це всі прямі, що лежать на ізотропному конусі   який в цьому випадку являє собою справжній конус.

Підпростори псевдоевклідового просторуРедагувати

 
Взаємне розташування площини та ізотропного конуса в тривимірному псевдоевклідовому просторі

Підпростір псевдоевклідового простору із сигнатурою   не обов'язково є теж псевдоевклідовим; він може бути й евклідовим простором. Наприклад, у тривимірному псевдоевклідовому просторі із сигнатурою   площина   може бути або псевдоевклідовим простором з сигнатурою  , або евклідовим простором, або мати вироджений скалярний добуток. Геометрично ці три випадки визначаються розташуванням площини   відносно ізотропного конуса (див. рисунок). А саме: площина   є псевдоевклідовою, якщо вона перетинає ізотропний конус по двох різних прямих (ізотропних напрямках); обмеження скалярного добутку на площину   вироджене, якщо   дотикається ізотропного конуса, тобто, перетинається з ним лише по одній прямій; нарешті, площина   є евклідовою, якщо вона має з ізотропним конусом єдину спільну точку (вершину конуса).

Кола та сфериРедагувати

З точки зору геометрії псевдоевклідової площини, колами довільного ненульового (дійсного або чисто уявного) радіуса є гіперболи. Аналогічно, у тривимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури   сферами ненульового дійсного радіуса є однопорожнинні гіперболоїди, а сферами ненульового чисто уявного радіуса — двопорожнинні гіперболоїди. Аналогічна ситуація в просторах більшої кількості вимірів, наприклад, у чотиривимірному просторі сигнатури (3,1).

За своїми геометричними властивостям кожна з двох «половин» гіперсфери уявного радіуса в  -вимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури   є  -вимірним простором Лобачевського. Простори вимірності   (від   до  ) в цьому просторі Лобачевського відповідають підпросторам вимірності   початкового псевдоевклідового простору, які проходять через початок координат і перетинають гіперсферу уявного радіуса, а його рухи відповідають перетворенням Лоренца.

Зворотна нерівність Коші — БуняковськогоРедагувати

У псевдоевклідовому просторі з сигнатурою   для всіх векторів уявної довжини виконана нерівність, зворотня нерівності Коші-Буняковського для евклідових просторів:[1]

 

Застосування у фізиціРедагувати

Найважливішим окремим випадком псевдоевклідового простору є простір Мінковського, що використовується в спеціальній теорії відносності як простір-час, в якому метрика сигнатури (1,3) Лоренц-інваріантна (тільки псевдоевклідова метрика може бути Лоренц-інваріантною), а для часоподібності двох подій довжина (у сенсі такої метрики) кривої, що з'єднує ці події і теж усюди часоподібній, є час між ними, виміряний по годиннику, рух якого описується в просторі-часі цієї кривої. Ізотропні напрямки є напрямами поширення світла і називаються також нульовими або світлоподібними.

Теоретична фізика розглядає псевдоевклідові простори й іншої вимірності, однак зазвичай метрика в них має сигнатуру   ,тобто це простори з однією часовою координатою та n — просторовими.

ПрикладиРедагувати

 

ВластивостіРедагувати

  •   не є нормою, оскільки вона не є невід'ємною і для неї не виконується нерівність трикутника.
  • У псевдоевклідовому просторі, на відміну від евклідового, існують ненульові вектори нульової довжини  

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  1. а б Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. VII, пар. 7, — Физматлит, Москва, 2009.

ЛітератураРедагувати

  • Walter Noll (1964) «Euclidean geometry and Minkowskian chronometry», American Mathematical Monthly 71:129—44.
  • Poincaré, Science and Hypothesis 1906 referred to in the book B.A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (английский перевод) с.266.
  • Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521829607. 
  • Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. — Энциклопедия элементарной математики. Том V. Геометрия
  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — Будь-яке видання.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.
  • Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.