Відкрити головне меню
Графіки синуса і косинуса — періодичних функцій с періодом .

Періоди́чна фу́нкціяфункція, яка повторює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

ОзначенняРедагувати

Нехай  абелева група (зазвичай вважається, що   — дійсні числа з операцією додавання або   — комплексні числа). Функція   називається періодичною з пері́одом   , якщо виконується

 .

Якщо ця рівність не виконується для всіх   , то функція   називається аперіоди́чною.

Якщо для функції   існують два періоди  , відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є  , то   називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення   на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на  .

ПриміткаРедагувати

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо   — період, то і довільний елемент   вигляду   , де   — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодів   є найменше значення, то воно називається головним (або основним) періодом функції.

Дії над періодичними функціямиРедагувати

Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:

  • Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами   і   є функцією з основним періодом НСК .
  • Сума двох функций із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
  • Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.

ПрикладиРедагувати

  • Дійсні функції синус і косинус є періодичними з основним періодом   , оскільки
 
  • Функція рівна константі   є періодичною, і довільне дійсне число є її періодом. Головного періоду вона не має.
  • Функція   є аперіодичною.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати