Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа та будь-якого цілого числа виконується рівність:

Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.

Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».

Зв’язок з формулою ЕйлераРедагувати

Історично формулу Муавра було доведено раніше за формулу Ейлера:

 

проте її легко отримати з неї. Згідно закону піднесення до цілого степеня [1]:

 

далі по формулі Ейлера:

 

Доведення по індукціїРедагувати

Слушність формули Муавра може бути доведена для натуральних чисел за допомогою математичної індукції, а потім поширена на всю множину цілих чисел. Позначимо як S(n) таке твердження (n - ціле):

 

Вочевидь S(1) певне, оскільки при n = 1 твердження обертається на тотожність. Припустимо, що S(k) певне для будь-якого натурального k:

 

Розглянемо S(k + 1):

 

Дивіться Формули для суми аргументів тригонометричних функцій.

Отже, ми довели, що в разі певності S(k) також певне S(k + 1). Зважаючи на певність S(1), згідно принципу математичної індукції приходимо до висновку, що твердження певне для всіх натуральних чисел. Далі, вочевидь S(0) також певне, оскільки cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1. Насамкінець , в разі негативного показника n, розглядатимемо степінь як обернену величину степеня з натуральним показником n:

 

Рівність (*) є результатом тотожності:

 

де z = cos (nx) + i sin (nx).

Отже, S(n) певне для всієї множини цілих чисел n.

Обчислення коренів n ступеняРедагувати

Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів n-й ступеня з ненулевого комплексного числа:

 

де  .

З основної теореми алгебри випливає, що корени  -й ступени з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює  . На комплексній площіні, як видно з формули, усі ці корені є вершинами правильного n-кутника, що вписан у коло радиуса   з центром у нулі.

При   з формули Муавра випливає вираз для обчислення значень тригонометричних функцій з кратним аргументом.

Див. такожРедагувати

  1. Якщо b - неціле число, то   - багатозначна функція змінної a, і   є лише одним з її значень.