Функція дільників σ0(n) до n = 250
Сигма-функція σ1(n) до n = 250
сума квадратів дільників, σ2(n), до n = 250

Функція дільниківарифметична функція, пов'язана з дільниками цілого числа. Функція відома також під ім'ям функція дивізорів. Застосовується, зокрема, при дослідженні зв'язку дзета-функції Рімана і рядів Ейзенштейна для модулярних форм. Вивчалася Рамануджаном, який вивів ряд важливих рівностей в модульній арифметиці і арифметичних тотожностей.

З функцією дільників тісно пов'язана суматорна функція дільників, яка, як випливає з назви, є сумою функції дільників.

ОзначенняРедагувати

Функція сума додатних дільників σx(n) для дійсного або комплексного числа x визначається як сума x степенів додатних дільників числа n. Функцію можна виразити формулою

 

де   означає «d ділить n».

Найважливішими частковими випадками є x = 0 і x = 1. Для позначення σ0(n) або функції кількості дільників використовуються також позначення d(n), ν(n) и τ(n) (від німецького Teiler = дільник) [1] [2]. У цьому випадку функція має просту геометричну інтерпретацію: σ0(n) = d(n) дорівнює кількості точок (x, y) з цілими координатами у «правому верхньому квадранті», що лежать на гіперболі xy = n.

Якщо x дорівнює 1, функція називається сигма-функцією або сумою дільників [3] і індекс часто опускається, так що σ(n) є еквівалентним σ1(n) [4].

Пов'язаною з σ(n) є функція s(n), що є рівною сумі власних дільників (тобто дільників, за винятком самого n) [5], тобто s(n) = σ1(n) - n.

ПрикладиРедагувати

Наприклад, σ0(12) — кількість дільників числа 12:

 

тоді як σ1(12) — сума всіх дільників:

 

і сума s(12) власних дільників є рівною:

 

Таблиця значеньРедагувати

n Дільники σ0(n) σ1(n) s(n) = σ1(n) − n Коментарі
1 1 1 1 0 квадрат: значення σ0(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n − 1 (майже досконале)
2 1,2 2 3 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1
3 1,3 2 4 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1
4 1,2,4 3 7 3 квадрат: σ0(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n − 1 (майже досконале)
5 1,5 2 6 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1
6 1,2,3,6 4 12 6 перше досконале число: s(n) = n
7 1,7 2 8 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1
8 1,2,4,8 4 15 7 степінь 2: s(n) = n - 1 (майже досконале)
9 1,3,9 3 13 4 квадрат: σ0(n) є непарним
10 1,2,5,10 4 18 8
11 1,11 2 12 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1
12 1,2,3,4,6,12 6 28 16 перше надлишкове число: s(n) > n
13 1,13 2 14 1 просте: σ1(n) = 1+n, так що s(n) =1
14 1,2,7,14 4 24 10
15 1,3,5,15 4 24 9
16 1,2,4,8,16 5 31 15 квадрат: σ0(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n - 1 (майже досконале)
σ0(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11
0+ 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2
12+ 6 2 4 4 5 2 6 2 6 4 4 2
24+ 8 3 4 4 6 2 8 2 6 4 4 4
36+ 9 2 4 4 8 2 8 2 6 6 4 2
48+ 10 3 6 4 6 2 8 4 8 4 4 2
60+ 12 2 4 6 7 4 8 2 6 4 8 2
72+ 12 2 4 6 6 4 8 2 10 5 4 2
84+ 12 4 4 4 8 2 12 4 6 4 4 4
96+ 12 2 6 6 9 2 8 2 8 8 4 2
108+ 12 2 8 4 10 2 8 4 6 6 4 4
120+ 16 3 4 4 6 4 12 2 8 4 8 2
132+ 12 4 4 8 8 2 8 2 12 4 4 4
σ1(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11
0+ 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18 12
12+ 28 14 24 24 31 18 39 20 42 32 36 24
24+ 60 31 42 40 56 30 72 32 63 48 54 48
36+ 91 38 60 56 90 42 96 44 84 78 72 48
48+ 124 57 93 72 98 54 120 72 120 80 90 60
60+ 168 62 96 104 127 84 144 68 126 96 144 72
72+ 195 74 114 124 140 96 168 80 186 121 126 84
84+ 224 108 132 120 180 90 234 112 168 128 144 120
96+ 252 98 171 156 217 102 216 104 210 192 162 108
108+ 280 110 216 152 248 114 240 144 210 182 180 144
120+ 360 133 186 168 224 156 312 128 255 176 252 132
132+ 336 160 204 240 270 138 288 140 336 192 216 168
σ2(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11
0+ 1 5 10 21 26 50 50 85 91 130 122
12+ 210 170 250 260 341 290 455 362 546 500 610 530
24+ 850 651 850 820 1050 842 1300 962 1365 1220 1450 1300
36+ 1911 1370 1810 1700 2210 1682 2500 1850 2562 2366 2650 2210
48+ 3410 2451 3255 2900 3570 2810 4100 3172 4250 3620 4210 3482
60+ 5460 3722 4810 4550 5461 4420 6100 4490 6090 5300 6500 5042
72+ 7735 5330 6850 6510 7602 6100 8500 6242 8866 7381 8410 6890
84+ 10500 7540 9250 8420 10370 7922 11830 8500 11130 9620 11050 9412
96+ 13650 9410 12255 11102 13671 10202 14500 10610 14450 13000 14050 11450
108+ 17220 11882 15860 13700 17050 12770 18100 13780 17682 15470 17410 14500
120+ 22100 14763 18610 16820 20202 16276 22750 16130 21845 18500 22100 17162
132+ 25620 18100 22450 21320 24650 18770 26500 19322 27300 22100 25210 20740

Випадки  ,   і так далі входять в послідовності  A001157,  A001158,  A001159,  A001160,  A013954,  A013955

ВластивостіРедагувати

  • Для цілих, які не є квадратами, кожен дільник d числа n має пов'язаний дільник n/d, і тому для таких чисел   завжди є парним. Для квадратів один дільник, а саме  , не має пари, так що для них   завжди є непарним числом.
 
оскільки, за означенням, просте число ділиться тільки на одиницю і самого себе.
 
  • Для всіх   виконуються нерівності   і  .
Для складених чисел виконується нерівність  [6].
Для будь-яких цілих чисел більших одиниці  .
Для всіх   окрім 1,2,3,4,6 и 8 виконується нерівність Анапурни),[7],[8]:
 
Для всіх натуральних чисел   і   виконується нерівність Сіварамакрішнана — Венкатараманана:
 
Нерівність Ленгфорда
 
  • У кільці арифметичних функцій функція дільників є оборотним елементом і можна дати еквівалентне означення[9]:   де, за означенням  , а * позначає згортку Діріхле. Оберненим елементом для функції σx є мультиплікативна арифметична функція задана як[10]:
      Для цієї функції виконується рівність  , і зокрема для  :  , де  функція Мебіуса.
  • При тих же позначеннях 
Якщо  взаємно прості натуральні числа, і  , то  , де   і   і до того ж такий запис є єдиним (з точністю до порядку множників). Навпаки, якщо   і  , то  . Тому  , тобто  .
Натомість, наприклад,   і тому  .
  • Якщо записати
 ,
де r = ω(n) — кількість простих дільників числа n, pii-й простий дільник, а ai — максимальний степінь pi, на який ділиться n, то з мультиплікативності функції дільників отримуємо:
 .
Використовуючи формулу суми геометричної прогресії, також можна записами:
 ,
  • Якщо у попередній формулі взяти x = 0, отримаємо, що d(n) є рівним:
 
Приклад, число n = 24 має два простих дільники — p1 = 2 і p2 = 3. Оскільки 24 — добуток 23×31, то a1 = 3 і a2 = 1.
Тепер можна обчислити  :
 
Вісім дільників числа 24 — 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 і 24.
Якщо n — степінь двійки, тобто  , то   і s(n) = n-1, що робить n майже досконалим.
  • Як приклад, для двох простих p і q (де p < q), нехай  
Тоді
 
 
і
 
 
де φ(n) — функція Ейлера.
Тоді корені p і q рівняння:
 
можна виразити через σ(n) и φ(n) :
 
 
Знаючи n і або σ(n), або φ(n) (чи знаючи p+q і або σ(n) або φ(n)) можна знайти p і q.
  • В 1984 році Хіз-Браун (Roger Heath-Brown) довів, що рівність
 
виконується для нескінченної кількості натуральних чисел.

Зв'язок з рядамиРедагувати

Два ряди Діріхле, із функцією дільників:

 

і при позначенні d(n) = σ0(n) зокрема

 

Інший ряд, де використовуються ці функції:

 

Ряд Ламбера, із функцією дільників:

 

для будь-якого комплексного |q| ≤ 1 і a.

Ця сума зустрічається також в рядах Фур'є для рядів Ейзенштейна і в інваріантах еліптичних функцій Вейєрштраса.

Асимптотична швидкість ростуРедагувати

Швидкість росту кількості дільниківРедагувати

  • Для всіх   справедливою є границя:
 
Дійсно можна вибрати таке ціле число  , що   і позначаючи  k-те по величині просте число можна ввести числа   для  . Тоді з формули кількості дільників через розклад на добуток простих чисел  , де   — константа, що не залежить від  . Позначивши   з попередньої нерівності отримаємо  
  • З іншого боку функція кількості дільників задовольняє нерівність[11]
для всіх  , тобто  
  • Северин Вігерт дав більш точну оцінку
 
 
  • Діріхле показав, що середній порядок функції дільників задовольняє нерівність:
Для всіх  
де  стала Ейлера — Маскероні.
Завдання покращити границю   в цій формулі називається проблемою Діріхле про дільники.

Швидкість росту суми дільниківРедагувати

  • Поведінка сигма функції є нерівномірною. Асимптотичну швидкість росту сигма функції можна виразити формулою:
 
Цей результат називається теоремою Гронвала (Gronwall) і був опублікований у 1913 році [12]. Його доведення використовує третю теорему Мертенса, яка стверджує, що
 
де pпросте число.
  (нерівність Робіна)
виконується для всіх досить великих n [13].
У 1984 році Гай Робін довів, що нерівність є вірною для всіх n ≥ 5041 в тому і тільки в тому випадку, якщо гіпотеза Рімана є вірною [14]. Це твердження називається теоремою Робіна.
Найбільше відоме число, що порушує нерівність Робіна — n = 5040. Якщо гіпотеза Рімана вірна, то немає більших чисел, що порушують нерівність. Робін показав, що в разі помилковості гіпотези існує нескінченна кількість чисел n, що порушують нерівність, і відомо, що найменше з таких чисел n ≥ 5041 має бути надлишковим числом [15]. Було показано, що нерівність виконується для великих непарних вільних від квадратів чисел, і що гіпотеза Рімана еквівалентна виконанню нерівності для всіх чисел n, що діляться на п'ятий степінь простого числа [16]
  • Джефрі Лагаріас (Jeffrey Lagarias) в 2002 році довів, що гіпотеза Рімана еквівалентна твердженням
 
для будь-якого натурального n, де  nгармонічне число [17].
  • Робін довів, що нерівність
 
виконується для n ≥ 3 без будь-яких додаткових умов.

ПриміткиРедагувати

  1. Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950 стор 46
  2. Послідовність A000005 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
  3. Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 , Стор 58
  4. Послідовність A000203 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
  5. Послідовність A001065 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
  6. Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.
  7. Annapurna V., Inequalities of σ(n) and φ(n), Math. Mag., 45, 1972, стр. 187 – 190
  8. Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.
  9. Bundschuh, P., Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-55178-6, 1.4.10
  10. Siemon, H., Einführung in die Zahlentheorie, Verlag Dr. Kovac, Hamburg, 2002, ISSN 1435 – 6511, 5.5, 8.15.4 и 8.7
  11. "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
  12. Gronwall, Thomas Hakon (1913), «Some asymptotic expressions in the theory of numbers», Transactions of the American Mathematical Society 14: 113 -122, doi: 10.1090 / S0002-9947-1913-1500940-6
  13. Ramanujan, Srinivasa (1997), «Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin», The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi: 10.1023 / A: 1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180
  14. Robin, Guy (1984), «Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothese de Riemann», Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, Neuvieme Serie 63 (2 ): 187-213, ISSN 0021-7824, MR 774171
  15. Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi: 10.4169 / 193009709X470128
  16. YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol, Pieter Moree, Patrick Sole On Robin's criterion for the Riemann hypothesis 2007 Journal de theorie des nombres de Bordeaux, ISSN = 1246-7405, v19, issue 2, pages = 357-372
  17. Lagarias, Jeffrey C. (2002) , «An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis», The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi: 10.2307 / 2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 19080

ПосиланняРедагувати