Теоремами Мертенса називаються кілька пов'язаних тверджень, щодо властивостей простих чисел доведені у 1874 році польським математиком Францом Мертенсом.
Твердження теорем
ред.
Нехай
x
{\displaystyle x}
дійсним числом і вирази
∑
n
⩽
x
{\textstyle \sum _{n\leqslant x}}
∑
p
⩽
x
{\textstyle \sum _{p\leqslant x}}
натуральних і простих числах, що не перевищують. Тоді виконуються такі рівності (кожну із яких називають теоремою Мертенса):
(
1
)
∑
n
⩽
x
Λ
(
n
)
n
=
log
x
+
O
(
1
)
.
{\displaystyle (1)\quad \sum _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x\,+\,O(1).}
Тут
Λ
(
n
)
{\displaystyle \Lambda (n)}
функцією фон Мангольдта .
(
2
)
∑
p
⩽
x
log
p
p
=
log
x
+
O
(
1
)
.
{\displaystyle (2)\quad \sum _{p\leqslant x}{\frac {\log p}{p}}=\log x\,+\,O(1).}
Більш того
∑
p
⩽
n
log
p
p
−
log
n
{\textstyle \sum _{p\leqslant n}{\frac {\log p}{p}}-\log n}
n
{\displaystyle n}
(
3
)
∫
1
x
ψ
(
t
)
t
2
d
t
=
log
x
+
O
(
1
)
.
{\displaystyle (3)\quad \int _{1}^{x}{\frac {\psi (t)}{t^{2}}}\mathrm {d} t=\log x\,+\,O(1).}
Тут
ψ
(
x
)
=
∑
n
=
1
x
Λ
(
n
)
=
∑
p
k
⩽
x
log
(
p
)
{\textstyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leqslant x}\operatorname {log} (p)}
(
4
)
∑
p
⩽
x
1
p
=
log
log
x
+
M
+
O
(
1
log
x
)
.
{\displaystyle (4)\quad \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M\,+\,O\left({\frac {1}{\log x}}\right).}
Константа
M
{\displaystyle M}
константою Майсселя — Мертенса і вона є рівною:
M
=
lim
n
→
∞
(
∑
p
∈
P
n
1
p
−
log
log
n
)
=
γ
+
∑
p
∈
P
[
log
(
1
−
1
p
)
+
1
p
]
=
γ
+
∑
k
=
2
∞
μ
(
k
)
k
log
ζ
(
k
)
.
{\displaystyle M=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\in \mathbb {P} }^{n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=\gamma +\sum _{p\in \mathbb {P} }\left[\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}\log \zeta (k).}
де
γ
=
0
,
5772156649...
{\displaystyle \gamma =0,5772156649...}
константою Ейлера — Маскероні .
(
5
)
lim
x
→
∞
log
x
∏
p
⩽
x
(
1
−
1
p
)
=
e
−
γ
.
{\displaystyle (5)\quad \lim _{x\to \infty }\log x\prod _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }.}
Література
ред.
![{\displaystyle M=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\in \mathbb {P} }^{n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=\gamma +\sum _{p\in \mathbb {P} }\left[\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}\log \zeta (k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dbb3df5251982b42ac19f32ef14bddc81c138a)
