Функція фон Мангольдта

Функція фон Мангольдтаарифметична функція, що визначається рівністю:

де pпросте число. Тобто значення функції є ненульовим лише для степенів простих чисел де значення функції рівне логарифму з відповідного простого числа.

Властивості

ред.

Функція фон Мангольдта задовольняє властивості:

 
 
 
 

де  функція Мебіуса.

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

exp(Λ(n)) можна явно визначити:

 

де   позначає найменше спільне кратне.

Значення exp(Λ(n)) для перших натуральних чисел рівне:

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, ... (послідовність A014963 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Функція фон Мангольдта тісно пов'язана з дзета-функцією Рімана 'Q(s). Зокрема виконується рівність:

 

для  .

Тоді логарифмічна похідна рівна:

 

Посилання

ред.
  • Weisstein, Eric W. Mangoldt Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

ред.