Рядом Діріхле називається ряд виду
∑
n
=
1
∞
a
n
n
s
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}
де s і a n комплексні числа , n = 1, 2, 3, … .
Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число
σ
c
{\displaystyle \sigma _{c}}
Re
,
s
>
σ
c
{\displaystyle \operatorname {Re} ,s>\sigma _{c}}
абсцисою абсолютної збіжності називається таке число
σ
a
{\displaystyle \sigma _{a}}
Re
,
s
>
σ
a
{\displaystyle \operatorname {Re} ,s>\sigma _{a}}
абсолютно збіжним . Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення
0
⩽
σ
a
−
σ
c
⩽
1
{\displaystyle 0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1}
σ
c
{\displaystyle \sigma _{c}}
σ
a
{\displaystyle \sigma _{a}}
Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел . Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана , а також L-функція Діріхле .
Ряд названий в честь Густава Діріхле .
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
,
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}
Де ζ(s) — дзета-функція Рімана .
1
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
де μ(n) — функція Мебіуса .
1
L
(
χ
,
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
χ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}
де L(χ,s) — L-функція Діріхле .
Нехай
F
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
Тоді можна довести
F
′
(
s
)
=
−
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
log
(
n
)
n
s
{\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}
у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n ), у випадку збіжності для Re(s ) > σ0 , тоді
F
′
(
s
)
F
(
s
)
=
−
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
Λ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}
збігається для Re(s ) > σ0 . В даній формулі,
Λ
(
n
)
{\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}
функцію фон Мангольдта .
Нехай маємо ряди
F
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
−
s
{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}
і
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
g
(
n
)
n
−
s
.
{\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}
Якщо F (s ) і G (s ) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:
1
2
T
∫
−
T
T
F
(
a
+
i
t
)
G
(
b
−
i
t
)
d
t
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
g
(
n
)
n
−
a
−
b
as
T
∼
∞
.
{\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}
Якщо a = b і ƒ(n ) = g (n ) то
1
2
T
∫
−
T
T
|
F
(
a
+
i
t
)
|
2
d
t
=
∑
n
=
1
∞
[
f
(
n
)
]
2
n
−
2
a
as
T
∼
∞
.
{\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}
Мандельбройт С. Ряды Дирихле, — М.: Мир, 1973
Tom M. Apostol (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8 
![{\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f30f32611f570c2592db1703d6f8d0fa98d609a)