Відкрити головне меню

Дзе́та-фу́нкція Рі́мана визначена за допомогою ряду:

.

У області , цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера)

,

де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.

ВластивостіРедагувати

  • Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:
 ,

де   — число Бернуллі. Зокрема,

 ,
 .

Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа   (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.

  • При  
  •  

де   — функція Мебіуса

  •  

де   — число дільників числа  

  •  

де   — число простих дільників числа  

  •   допускає аналітичне продовження на всю комплексну  -площину і є регулярною функцією для всіх значень  , крім  , де вона має простий полюс із лишком, рівним 1.
    • Аналітичне продовжена дзета-функція при   задовольняє рівняння:
 ,

де   — Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.

  • Для функції
 
введеною Ріманом для дослідження   і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду
 

Нулі дзета-функціїРедагувати

Основна стаття: Гіпотеза Рімана

Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині

 ,

функція   має лише прості нулі у від'ємних парних точках:  . Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі   при дійсних  . Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і мають властивість симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі   і лежать у смузі  , яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції знаходяться на прямій  .

ІсторіяРедагувати

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розклад у добуток.

Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел. Проте найбільш глибокі властивості дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

Формула добутку ЕйлераРедагувати

Зв'язок між дзета-функцією і простими числами відкрив Ейлер, який довів таку тотожність:

 

де лівий бік - це ζ(s), а нескінченний добуток праворуч містить усі прості числа:

 

Обидва боки формули Ейлера збігаються якщо Re(s) > 1. Доведення тотожності Ейлера використовує лише геометричні ряди і основну теорему арифметики. З того, що гармонічний ряд при s = 1 розбіжний, випливає, що формула Ейлера (яка набуває виду  ) тягне за собою існування нескінченної кількості простих чисел.[1]

Формулу добутку Ейлера можна використати, щоб обчислити асимптотичну ймовірність того, що s випадково вибраних цілих чисел помножинно взаємно прості. Інтуїтивно, ймовірність того, що будь-яке окремо взяте число ділиться на просте (або будь-яке ціле число), p становить 1p. Отже, ймовірність, що кожне з s чисел ділиться на це число становить 1ps, а ймовірність, що хоча б одне ні становить 1 − 1ps. Тепер, для різних простих чисел, ці події подільності взаємно незалежні, бо кандидати на дільники взаємно прості (число ділиться на взаємно прості дільники n і m тоді і тільки тоді, коли число ділиться на nm, подія, що відбувається з ймовірністю 1nm). Отже, асимптотична ймовірність того, що s чисел взаємно прості задається через добуток що включає всі прості,

 

(Щоб довести цей результат формально потрібно більше роботи).[2]

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Sandifer, Charles Edward (2007). How Euler Did It. Mathematical Association of America. с. 193. ISBN 978-0-88385-563-8. 
  2. Nymann, J. E. (1972). On the probability that k positive integers are relatively prime. Journal of Number Theory 4 (5): 469–473. Bibcode:1972JNT.....4..469N. doi:10.1016/0022-314X(72)90038-8. 

ПосиланняРедагувати