Гармонічне число

сума обернених величин перших n натуральних чисел

У математиці nгармонічним числом називається сума обернених величин перших n послідовних чисел натурального ряду:

Гармонічне число , де (червона лінія) і його асимптотична границя (синя лінія).

Гармонічні числа є частковими сумами гармонічного ряду.

Вивчення гармонічних чисел почалося в античності. Вони мають важливе значення в різних галузях теорії чисел і теорії алгоритмів і, зокрема, тісно пов'язані з дзета-функцією Рімана.

Альтернативні визначенняРедагувати

  • Гармонічні числа можна визначити рекурентно:
     
  • Також правильне співвідношення:
      ,
    де   — дигамма-функція,   — стала Ейлера — Маськероні .
  • Ще одне співвідношення:
     

Додаткові поданняРедагувати

Перелічені нижче формули можна використати для обчислення гармонічних чисел (зокрема й у точках, відмінних від точок натурального ряду):

  • інтегральні подання:
     
  • граничні подання:
     
     ;
  • розкладання в ряд Тейлора в точці  :
     
    де   — дзета-функція Рімана;
  • асимптотичний розклад:
      .

Твірна функціяРедагувати

 

ВластивостіРедагувати

Значення від нецілого аргументуРедагувати

  •  
  •  
  •  
  •  
де   — золотий перетин.
  •  

Суми, пов'язані з гармонічними числамиРедагувати

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Тотожності, пов'язані з гармонічними числамиРедагувати

  •  
  •  , де  
  •  , де  
  •  

Наближене обчисленняРедагувати

За допомогою формули підсумовування Ейлера — Маклорена отримуємо таку формулу:

 

де  ,   — стала Ейлера, яку можна обчислити швидше з інших міркувань[яких?], а   — числа Бернуллі.

Теоретико-числові властивостіРедагувати

  • Теорема Вольстенгольма стверджує, що для будь-якого простого числа   виконується порівняння:
     

Деякі значення гармонічних чиселРедагувати

   

Чисельник і знаменник нескоротного дробу, що являє собою n-e гармонійне число, є n-ми членами цілочисельних послідовностей A001008 і A002805, відповідно.

ЗастосуванняРедагувати

2002 року Lagarias довів[1], що гіпотеза Рімана про нулі дзета-функції Рімана еквівалентна твердженням, що нерівність

 

виконується за всіх цілих   зі строгою нерівністю при  , де   — сума дільників числа  .

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Jeffrey Lagarias. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109 (30 січня). — С. 534-543. Архівовано з джерела 27 червня 2021. Процитовано 22 червня 2021.