Відкрити головне меню

Ряди Ейзенштейна, названі на честь німецького математика Фердинанда Ейзенштейна — спеціальні прості приклади модулярних форм, що задаються як сума явно виписаного ряду. Спочатку визначені для модулярної групи, ряди Ейзенштейна можуть бути узагальнені в теорії автоморфних форм.

ОзначенняРедагувати

Ряд Ейзенштейна   ваги   — функція, визначена на верхній комплексній півплощині   і задана як сума ряду

 

Цей ряд абсолютно збігається до голоморфної функції змінної  .

ВластивостіРедагувати

МодулярністьРедагувати

 
Дійсна частина G_6 як функція від q на одиничному крузі.
 
Уявна частина G_6 як функція від q на одиничному крузі.

Ряд Ейзенштейна задає модулярну форму ваги  : для будь-яких цілих   з   маємо

 

Це випливає з того, що ряд Ейзенштейна можна представити як функцію від породженої 1 і   ґратки  , продовживши його на весь простір ґраток:

 

Тоді   Співвідношення модулярності тоді відповідає переходу від базису   до базису   тієї ж ґратки (що не змінює значення  ) та нормуванню другого елементу нового базису на 1.

Представлення модулярних формРедагувати

Більш того, як виявляється, будь-яка модулярна форма (довільної ваги  ) виражається як многочлен від   і  :

 

Зв'язок з еліптичними кривимиРедагувати

 -функція Вейєрштрасса еліптичної кривої   розкладається в ряд Лорана в нулі як

 

Зокрема, модулярні інваріанти кривої E рівні

 

Рекурентне співвідношенняРедагувати

Будь-яку голоморфну модулярну форму для модулярної групи можна записати у вигляді многочлена від   і  . Зокрема,   вищих порядків можна записати через рекурентне співвідношення, яке залежить від   і  . Нехай  . Тоді   задовільняють співвідношення

 

для всіх  . Тут  біноміальний коефіцієнт і   і  .

Вираз   трапляється в розкладі в околі нуля функції Вейєрштрасса:

 

Ряди Фур'єРедагувати

 
G_4
 
G_6
 
G_8
 
G_10
 
G_12
 
G_14

Означимо  . (Деякі старі книжки визначають q як ном  , але зараз в теорії чисел прийнято стандарт  .) Тоді розклад коефіцієнтів рядів Ейзенштейна в Ряди Фур'є має вигляд

 

де коефіцієнти Фур'є   задані як

 .

Тут Bnчисла Бернуллі, ζ(z) — дзета-функція Рімана і σp(n) — сума дільників, сума p степенів дільників числа n. Зокрема, маємо

 

and

 

Зверніть увагу, що сума q може бути записана у формі вигляді рядів Ламберта; тобто, маємо

 

для довільного комплексного |q| ≤ 1 і a. Працюючи з q-розкладом рядів Ейзенштейна, часто вводяться альтернативні позначення

 .

Тотожності з рядами ЕйзенштейнаРедагувати

Добутки рядів ЕйзенштейнаРедагувати

Ряди Ейзенштейна утворюють найбільш явні приклади модулярних форм для повної модулярної групи   Оскільки простір модулярних форм ваги   має розмірність 1 для   різних добутків рядів Ейзенштейна з цими вагами повинні бути пропорційні. Таким чином, ми отримаємо тотожності:

 

Використовуючи q-розклади рядів Ейзенштейна, наведені вище, вони можуть бути переформулювані як тотожності, пов'язані з сумами степенів дільників:

 

отже

 

і аналогічно для інших. Можливо, навіть більш цікаво, тета-функція з восьмивимірної парної унімодулярної ґратки Γ є модулярною формою ваги 4 для повної модулярної групи, що дає такі тотожності:

 

для числа   векторів квадратної довжини 2n у кореневій ґратці типу E8.

ЛітератураРедагувати