Евклідове кільце

В абстрактній алгебрі евклідове кільце — кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда.

ВизначенняРедагувати

Евклідове кільцеобласть цілісності  , для якої визначена евклідова функція (евклідова норма)  , причому  , і можливе ділення з остачею, по нормі меншою ніж дільник, тобто для будь-яких   є представлення  , для якого  .

ПриміткаРедагувати

Часто на евклідову норму накладають додаткове обмеження:   для будь-яких   та ненульових   з кільця  . Якщо на   задана норма, що не задовольняє цій вимозі, її можна поправити, перевизначивши:

 

Така норма задовольняє потрібну нерівність, однак дотеперішній алгоритм ділення з остачею також треба поправити. Нехай   такий, що  . Розділимо з остачею ax на bx:  , де   і  . Тому що з визначення  , ми отримали представлення   з  , що і вимагалось.

Тим не менш переваг від такої норми не так багато — всі оборотні елементи мають одне й те саме значення норми, при чому мінімальне з усіх (скінченних), власні дільники (що відрізняються від самого числа) елемента a мають менше значення норми, а також спрощується безпосереднє доведення факторіальності евклідових кілець (без посилання на факторіальність кілець головних ідеалів, доведення чого вимагає застосування трансфінітної індукції). Основні властивості евклідових кілець залишаються в силі і без цієї додаткової властивості.

ПрикладиРедагувати

  • Кільце цілих чисел  . Приклад евклідової функції — абсолютна величина  .
  • Кільце цілих гаусових чисел   (де i — уявна одиниця,  ) з нормою   — евклідове.
  • Довільне поле   є евклідовим кільцем з нормою, що дорівнює   для всіх елементів, окрім  .
  • Кільце многочленів від однієї змінної   над полем  . Приклад евклідової функції — піднесення до степеня,  .
  • Кільце формальних степеневих рядів   над полем   є евклідовим кільцем. Норма степеневого ряду — номер першого ненульового коефіцієнта в ньому (для нульового ряду норма дорівнює мінус нескінченності).
  • Узагальнюючи попередній приклад, кожне локальне кільце є евклідовим, якщо в ньому максимальний ідеал є головним і перетин всіх його степенів складається тільки з нуля. Норма оборотного елемента —  , необоротного ненульового дорівнює максимальної степені максимального ідеалу, що містить даний елемент, а норма нуля — мінус безкінечність.
  • Кільце функцій H(K), голоморфних на зв'язному компакті K в C (кожна з яких має бути голоморфною в в будь-якому околі цього компакту; дві такі функції вважаються рівними в H(K), якщо вони рівні в деякому околі K), також евклідове. За норму ненульової функції приймається число нулів (з урахуванням кратності), які вона приймає на K.
  • Зліченний перетин евклідових кілець (підкілець в якому-небудь кільці) не зобов'язаний бути евклідовим кільцем і навіть нетеровим або факторіальним). Наприклад, кільце функцій H(D), голоморфних у відкритому колі D, є перетин евклідових кілець функцій H(K), голоморфних на замкнутих колах K, що містяться всередині D (див. попередній приклад), однак воно ані нетерове, ані факторіальне, відповідно, неевклідове.
  • Кільце часток   евклідового кільця   по мультиплікативній системі   також є евклідовим. Нормою дробу   з   приймається
 , де   — евклідова норма в  , а   — норма в  .
Ділення з остачею визначається так. Нехай є два ненульових дроби   і   з  . За визначенням норми в   існують елементи   в   і   в S, такі що   і  . Вчинимо ділення з остачею в кільці   елементів   і  :
rs = uq + r', так що  . Тоді  . З побудови випливають нерівності  .
  • Евклідовим є кільце скінченних десяткових дробів, через те, що вони є кільцем часток кільця цілих чисел  .
  • Евклідовими є кільця раціональних функцій над полем   з фіксованими полюсами, через те, що такі кільця є кільцями часток кільця многочленів  .


Алгоритм ЕвклідаРедагувати

В евклідовому кільці здійсненний алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (елементів). Нехай початково дані два елементи   і  , при чому   і  . Ділення з остачею дає елемент   с  . Якщо він не рівний нулю, можна знов застосувати ділення з остачею, і отримати елемент  , і т. д. Таким чином генерується ланцюжок значень   з  . Однак цей ланцюжок переривається, позаяк кожне число з   може строго перевищувати тільки скінченну кількість інших таких чисел. Це означає, що при деякому   остача   дорівнює нулю, а   не дорівнює, вона і є НСД елементів   і  . Відповідно, в евклідовому кільці гарантовано завершення алгоритму Евкліда. Строго кажучи, саме в евклідових кільцях і можлива реалізація алгоритму Евкліда.

Властивості евклідових кілецьРедагувати

  • В евклідовому кільці кожний ідеал — головний (зокрема, всі евклідові кільця нетерові).
    • Нехай   — довільний ідеал в евклідовому кільці. Якщо він містить лише нуль, — він головний. В протилежному випадку серед його ненульових елементів знайдеться елемент   з мінімальною нормою (принцип мінімуму для натуральних чисел). Він поділяє всі інші елементи ідеалу: Якщо   — довільний елемент ідеалу  , запишемо його у вигляді   з  . Тоді   — також елемент ідеалу   і він забов'язаний бути нулем, через те, що його норма менша ніж у  . Відповідно, ідеал I міститься в ідеалі  . З іншого боку, кожен ідеал, що містить елемент  , містить ідеал  . Отже,   — головний ідеал.
  • Кожне евклідове кільце факторіальне, тобто кожний елемент можна представити скінченним добутком простих елементів, і при цьому однозначно (з точністю до їх перестановки і множення на оборотні елементи). Факторіальність — загальна властивість усіх кілець головних ідеалів.
  • Кожне евклідове кільце   цілозамкнене, тобто якщо дріб  , є коренем многочлена   зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює  , тоді   ділиться на  . Цілозамкненість — загальна властивість всіх факторіальних кілець.

Властивості модулів над евклідовим кільцемРедагувати

Нехай   — евклідове кільце. Тоді скінченнопорджені  -модулі характеризуються такими властивостями:

  • Кожен підмодуль   скінченнопородженого  -модуля   скінченнопороджений. (наслідок нетеровості кільця  )
  • Ранг підмодуля   не перевищує рангу модуля  . (наслідок того, що ідеали в   головні)
  • Підмодуль вільного  -модуля вільний.
  • Гомоморфізм   скінченнопороджених  -модулів завжди зводиться до нормальної форми. Тобто існують твірні (базис, якщо модуль вільний)   модуля  , твірні (базис)   модуля  , номер   і   — елементи кільця  , такі що   ділить   та при    , а при інших —  . При цьому коефіцієнти   визначені однозначно з точністю до множення но оборотні елементи кільця  . (Тут прямо задіяна евклідовість кільця  .)

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати