Ціле розширення кільця

Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

де . Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

  1. R[x] є скінченно породженим R-модулем ;
  2. існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

ПрикладиРедагувати

  • Цілий елемент є алгебраїчним над R.
  • Якщо Rполе, то вірним є і зворотне твердження.
  • Елементи поля комплексних чисел  , цілі над кільцем  , називаються цілими алгебраїчними числами.
  • Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент   є цілим над R, тобто розширення є цілим (зворотне може не бути вірним).

ВластивостіРедагувати

  • Нехай кільце   — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.
  • Якщо B є цілим над R і R' — деяка R-алгебра, то   є цілим над R'.
  • Якщо В — ціле розширення кільця R і S — деяка мультиплікативна підмножина в R, локалізація S-1B є цілим розширенням локалізації S-1R.
Нехай  , де  . Тоді, оскільки розширення є цілим, для   виконується рівність   для деяких  . Як наслідок   і оскільки всі  , то дана рівність є рівнянням цілої залежності елемента   над кільцем  . Оскільки елемент був обраний довільно, отримуємо необхідний результат.
  • Нехай   розширення   є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення   і  .
  • Якщо В — ціле розширення кільця R, J — ідеал кільця В і  . Тоді факторкільце   буде цілим розширенням факторкільця  .
Позначимо  . Для   виконується рівність   для деяких  . Перейшовши до факторкільця по ідеалу J і ідентифікуючи   як підкільце  , отримуємо рівність  , яка і є необхідним рівнянням цілої залежності.
Припустимо, що R є полем і  .   для деяких  . Степінь многочлена n можна вибрати мінімальним. Тоді  , оскільки A є областю цілісності і для нього існує обернений елемент адже він належить полю R. Тому  , тож для   існує обернений елемент рівний  , що завершує першу частину доведення.
Навпаки, припустимо, що A є полем і  . Тоді для   як елемента поля A в цьому полі існує обернений елемент. Позначимо   Для   існує рівняння цілої залежності над R:   для деяких  . Помноживши обидві сторони рівняння на   отримаємо рівність   Звідси бачимо, що елемент   є оберненим до   і належить R. Тобто R теж є полем.
  • Нехай   — ціле розширення кілець,  простий ідеал кільця A і   Тоді ідеал   є максимальним тоді і тільки тоді коли ідеал   є максимальним.
Згідно попередніх властивостей факторкільце   є цілим розширенням факторкільця  . Оскільки обидва ідеали є простими, то ці факторкільця є областями цілісності. Згідно попередньої властивості   є полем тоді і тільки тоді, коли   є полем і необхідний результат випливає з того, що ідеал є максимальним тоді і тільки тоді коли факторкільце по ньому є полем.
  • Нехай   — ціле розширення кілець,   — прості ідеали кільця A і  . Тоді  .
Локалізація   (по мультиплікативній множині  ) є цілим розширенням локалізації  . Також   є простими ідеалами кільця  . Оскільки   і останній ідеал є максимальним в   , то за попередньою властивістю   і   теж є максимальними ідеалами у  . Тому  , звідки також  .
  • Нехай A — ціле розширення R і   — деякий простий ідеал кільця R. Тоді існує простий ідеал   кільця A, що лежить над   (тобто такий, що  ).
Гомоморфізм включення   однозначно задає гомоморфізм включення локалізацій   Нехай M — довільний максимальний ідеал кільця  . З попередніх властивостей його перетин   має бути максимальним ідеалом кільця  , тобто  
Розглянемо тепер гомоморфізми   задані як  . Тоді  .
Ідеал   є простим ідеалом кільця A для якого  , тобто даний ідеал задовольняє вимоги теореми.
  • Теорема про підняття. Нехай   — ціле розширення кілець,   — послідовність простих ідеалів кільця R і  — послідовність простих ідеалів кільця A, для яких  . Тоді існують прості ідеали   кільця A, такі що   і .
Очевидно теорему достатньо довести для n =2, m =1. Загальний результат тоді випливає за допомогою математичної індукції.
При тих же позначеннях, що і вище факторкільце   є цілим розширенням факторкільця   і   є простим ідеалом кільця  . Тому існує простий ідеал кільця  , що лежить над  . Згідно властивостей факторкілець цей ідеал має вигляд   де   є простим ідеалом кільця A для якого  . Очевидно, що  
  • Нехай   — ціле розширення кілець. Тоді   і для довільних ідеалів  і   для яких  виконується нерівність  
  • Якщо Lскінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів   кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.

ЛітератураРедагувати