Висота (теорія кілець)

Висота ідеалу — мінімум висот простих ідеалів, що містять даний ідеал. Висота простого ідеалу в кільці R — найбільше число h (або , якщо такого числа немає) таке, що існує ланцюг різних простих ідеалів

Ковисота простого ідеалу визначається як найбільше h, для якого існує ланцюг простих ідеалів

Висота простого ідеалу рівна корозмірності многовиду, що визначається ідеалом, а ковисота — розмірності цього многовиду. Висота і ковисота простого ідеалу пов'язані нерівністю

де позначає розмірність Круля. Рівність досягається, наприклад, у разі, коли Rлокальне кільце Коена — Маколея .

Прості ідеали висоти 0 — це мінімальні прості ідеали. Існування в нетеровій області цілісності простих ідеалів висоти 1 встановлює теорема про головний ідеал: висота ненульового головного ідеалу рівна 1. Загальніший результат — теорема Круля, пов'язує висоту з числом твірних ідеала: у нетеровому кільці висота ідеала, породженого n елементами, не перевищує n, і навпаки: простий ідеал висоти n є мінімальним серед простих ідеалів, що містять деякі n елементів. Зокрема, в нетеровому кільці будь-який ідеал має скінченну висоту; відносно ковисоти це вже не так.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати