Розмірність Круля

У абстрактній алгебрі, розмірність Круля кільця R — число строгих включень в максимальному ланцюзі простих ідеалів. Розмірність Круля не обов'язково є обмеженою навіть для нетерових кілець.

ОзначенняРедагувати

Якщо P0, P1, ... , Pn — прості ідеали кільця такі що  , то кажуть, що ці ідеали утворюють ланцюг довжини n. Розмірність Круля — супремум довжин ланцюгів головних ідеалів.

ПрикладиРедагувати

  • У кільці (Z/8Z)[x,y,z] ми можемо розглядати ланцюг
 
Кожен з цих ідеалів головний, так що розмірність Круля (Z/8Z)[x, y, z] є як мінімум 3. Фактично розмірність цього кільця рівна точно 3.
  • Довільне поле k має розмірність Круля 0.
  • Кільце многочленів   і кільце формальних степеневих рядів   над деяким полем k мають розмірність Круля n. Більш загально для довільного нетерового комутативного кільця R для розмірності Круля виконується рівність  
  • Для довільного комутативного кільця R розмірність Круля кільця многочленів задовольняє нерівність:   Для кільця формальних степеневих рядів у цьому випадку виконується лише нерівність   Натомість існують кільця скінченної розмірності Круля над якими кільце формальних степеневих рядів має нескінченну розмірність.
Зокрема кільце   має нескінченну розмірність тоді і тільки тоді, коли існує простий ідеал   для якого   Тут   позначає формальні степеневі ряди із коефіцієнтами із   а   — радикал ідеалу у   породженого   Зокрема, якщо R — кільце розмірності 0, то розмірність   рівна або 1 або нескінченності.
Прикладом скінченновимірних комутативних кілець для якого   має нескінченну розмірність є кільця недискретного нормування розмірності 1. Іншим прикладом є   яке є кільцем розмірності 0, а також всі скінченновимірні кільця спектр яких не є нетеровим топологічним простором.[1]
  • Кільце головних ідеалів, що не є полем, має розмірність Круля 1.
  • Розмірність довільного кільця Артіна є рівною 0.
  • Розмірність довільного кільця Дедекінда є рівною 1.
  • Локальне кільце має нульову розмірність тоді і тільки тоді, коли всі елементи його максимального ідеалу є нільпотентними.
  • Приклад Наґати. Нехай   — кільце многочленів зі зліченною кількістю змінних. Розглянемо послідовність простих ідеалів  Тоді  є мультиплікативною множиною і можна розглянути локалізацію  Нехай також  Множина  є множиною максимальних ідеалів кільця A. Справді ідеали кільця A є у бієктивній відповідності із ідеалами кільця R, що містяться у  Якщо  є таким ненульовим ідеалом то   для деякого i. Справді, якщо це не так, то з запису   і леми про уникнення простих ідеалів випливає що   для всіх n. Але перетин таких множин є рівним нуля, що суперечить припущенню.
Будь-який ненульовий елемент кільця A належить лише скінченній кількості максимальних ідеалів  , адже будь-який ненульовий елемент кільця R належить лише скінченній кількості ідеалів  , що випливає з того, що будь-який елемент кільця R є елементом деякого підкільця зі скінченною кількістю змінних і тому не може містити породжуючих елементів для всіх  
Кожна локалізація   є нетеровим кільцем. Дійсно якщо   то   де K — поле часток підкільця многочленів у R, що не містять змінних   Твердження отримується з того, що кільце многочленів над полем (зі скінченною кількістю змінних) і будь-яка його локалізація є нетеровими кільцями.
Для довільного комутативного кільця R, якщо кожен його ненульовий елемент міститься лише у скінченній кількості максимальних ідеалів і локалізація по кожному максимальному кільці є кільцем Нетер, то і R — кільце Нетер. Справді для довільної зростаючої послідовності ідеалів довільний елемент якогось із ідеалів належить лише скінченній множині максимальних ідеалів. Але тоді і кожен ідеал зростаючої послідовності є підмножиною цієї скінченної множини максимальних ідеалів. Тому існує деякий максимальний ідеал якому належить нескінченна кількість ідеалів послідовності. Оскільки при переході до локалізації по цьому максимальному ідеалу підпослідовність стабілізується то це ж є справедливим і для початкової підпослідовності, а тому всієї послідовності. Отже R — кільце Нетер. Зокрема і частковий випадок   є нетеровим кільцем, оскільки вказані умови виконуються.
Натомість у   існує ланцюг простих ідеалів довжини  . Оскільки   є необмеженим числом то   має розмірність рівну нескінченності і є прикладом нескінченновимірного нетерового кільця.
  • Натомість довільне напівлокальне нетерове кільце має скінченну розмірність.

ВластивостіРедагувати

  • Область цілісності є полем, якщо і тільки якщо його розмірність Круля рівна нулю.
  • Розмірність Круля кільця є рівною розмірності будь-якого його цілого розширення.
  • Для кільця R і простого ідеалу   виконується нерівність  
Нерівність може бути строгою навіть для нетерових кілець. Нехай, наприклад,   — кільце формальних степеневих рядів від трьох змінних над полем k, I — ідеал породжений XY і XZ і R = A/I. Тоді   Якщо позначати   — образи   у R, то висота ідеалу   є рівною 0, а оскільки   то   Тому  

Розмірність модуляРедагувати

Якщо R — комутативне кільце і MR-модуль, розмірність Круля M визначається як розмірність Круля факторкільця по анулятору модуля:

 

де AnnR(M) — ядро відображення R → EndR(M) (що зіставляє елементу кільця множення на цей елемент).

Також можна дати означення за допомогою рівностей   де  носій модуля, а  — множина асоційованих простих ідеалів модуля.

ПриміткиРедагувати

  1. Jimmy T. Arnold (1973). Krull dimension in power series rings. Transactions of the American Mathematical Society 177: 299–304. doi:10.1090/s0002-9947-1973-0316451-8. 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • R. Gordon, J. Ch. Robson, Krull dimension, American Mathematical Society, 1978, ISBN 0-8218-1833-3.
  • J. C. McConnell, J. C. Robson, Lance W. Small, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2169-5.