Кільце Дедекінда

Кільце Дедекіндаобласть цілісності R в якій кожен ненульовий власний ідеал представляється у вигляді добутку простих ідеалів. Розклад у добуток простих ідеалів при цьому є єдиним з точністю до порядку множників. Свою назву ці кільця одержали від імені Ріхарда Дедекінда, який їх вивчав у 70-их роках 19 століття. При цьому означенні поля є тривіальними прикладами кілець Дедекінда. Зважаючи на їх відмінність від інших видів кілець Дедекінда іноді в означенні вимагається, щоб кільце Дедекінда не було полем.

ПрикладиРедагувати

Еквівалентні означенняРедагувати

Нижче наведено кілька еквівалентних означень в яких також описуються основні властивості кілець Дедекінда.

  1. R є кільцем Нетер,
  2. кожен власний простий ідеал кільця R максимальний,
  3. R цілозамкнуте кільце, тобто рівне своєму цілому замиканню в полі часток.
Іншими словами, кільце Дедекінда є нетеровим нормальним кільцем, розмірність Круля якого рівна одиниці.
  • Кільце R є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли напівгрупа дробових ідеалів цього кільця є групою. Кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда R можна єдиним способом записати у вигляді добутку степенів (додатних або від'ємних) простих ідеалів кільця R.
  • Кільце Дедекінда R можна охарактеризувати також як кільце Круля розмірності один.

ВластивостіРедагувати

  • Для кільця Дедекінда R виконується так звана китайська теорема про залишки: для даного скінченного набору ідеалів Ii і елементів xi кільця R, i=1,2,...,n система порівнянь   має розв'язок   тоді і тільки тоді, коли  , для  .
  • Для будь-якої мультиплікативної підмножини   у кільці Дедекінда   локалізація   теж є кільцем Дедекінда.
  • Кільце Дедекінда, що має лише скінченну кількість простих ідеалів є кільцем головних ідеалів.
  • Факторкільце кільця Дедекінда по будь-якому ненульовому ідеалу є кільцем головних ідеалів.
  • Кільце Дедекінда є факторіальним кільцем тоді і тільки тоді коли воно є кільцем головних ідеалів.
  • Нехай   — кільце Дедекінда,   — його ненульовий ідеал і   — довільний елемент ідеалу. Тоді існує такий елемент  , що елементи   породжують  . Зокрема кожен ідеал кільця Дедекінда породжується щонайбільше двома елементами.
  • Дробові ідеали кілець Дедекінда утворюють групу. Факторгрупа цієї групи по підгрупі головних дробових ідеалів називається групою класів ідеалів. У 1966 році Клеборн довів, що для кожної абелевої групи   існує кільце Дедекінда група класів ідеалів якого ізоморфна  . Лідам-Грін показав, що таке кільце можна завжди отримати як ціле замикання кільця головних ідеалів у квадратичному розширенні його поля часток.

Модулі над кільцем ДедекіндаРедагувати

Для кілець Дедекінда існує структурна теорія скінченнопороджених модулів яка є близькою до такої теорії для кілець головних ідеалів.

Нехай   — кільце Дедекінда і   — скінченнопороджений модуль над ним. Нехай   позначає підмодуль кручення, тобто підмодуль таких елементів  , що   для деякого  . Тоді  , де   — модуль без кручень.

Тому для класифікації скінченнопороджених модулів достатньо класифікувати всі такі модулі кручень і модулі без кручень.

Для модуля кручень  , де для ідеалів виконуються включення  . Цей розклад є єдиним з точністю до ізоморфізму.

Для модулів без кручень  , де   — ідеал кільця і  

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати