Кільце Дедекінда

Кільце Дедекінда — область цілісності R в якій кожен ненульовий власний ідеал представляється у вигляді добутку простих ідеалів. Розклад у добуток простих ідеалів при цьому є єдиним з точністю до порядку множників. Свою назву ці кільця одержали від імені Ріхарда Дедекінда, який їх вивчав у 70-их роках 19 століття. При цьому означенні поля є тривіальними прикладами кілець Дедекінда. Зважаючи на їх відмінність від інших видів кілець Дедекінда іноді в означенні вимагається, щоб кільце Дедекінда не було полем.

Приклади

• Кожна область головних ідеалів є кільцем Дедекінда.
• Якщо R є кільцем Дедекінда, L — скінченне алгебраїчне розширення його поля часток, то ціле замикання R^' кільця R в L знову буде кільцем Дедекінда.
• Дедекіндовими є кільце цілих алгебраїчних чисел і максимальні порядки полів алгебраїчних чисел, тобто цілі замикання кільця цілих чисел в скінченних алгебраїчних розширеннях поля раціональних чисел.

Еквівалентні означення

Нижче наведено кілька еквівалентних означень в яких також описуються основні властивості кілець Дедекінда.

• Комутативна область цілісності є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли

1. R є кільцем Нетер,
2. кожен власний простий ідеал кільця R максимальний,
3. R цілозамкнуте кільце, тобто рівне своєму цілому замиканню в полі часток.

Іншими словами, кільце Дедекінда є нетеровим нормальним кільцем, розмірність Круля якого рівна одиниці.

• Кільце R є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли напівгрупа дробових ідеалів цього кільця є групою. Кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда R можна єдиним способом записати у вигляді добутку степенів (додатних або від'ємних) простих ідеалів кільця R.

• Кільце Дедекінда R можна охарактеризувати також як кільце Круля розмірності один.

• Кільцем Дедекінда називається нетерова область цілісності для якої всі локалізації по простих ідеалах є кільцями дискретного нормування.
• Кільцем Дедекінда називається область цілісності для якої локалізація по кожному максимальному ідеалу є кільцем дискретного нормування і кожен ненульовий елемент належить лише скінченній кількості простих ідеалів.
• Кільцем Дедекінда називається область цілісності R кожен ідеал якої є проективним модулем над R.

Властивості

• Для кільця Дедекінда R виконується так звана китайська теорема про залишки: для даного скінченного набору ідеалів I_i і елементів x_i кільця R, i=1,2,...,n система порівнянь $x\equiv x_{i}{\pmod {I_{i}}}$ має розв'язок $x\in R$ тоді і тільки тоді, коли $x_{i}\equiv x_{j}{\pmod {I_{i}+I_{j}}}$, для $i\neq j$.
• Для будь-якої мультиплікативної підмножини $S$ у кільці Дедекінда $R$ локалізація $R_{S}$ теж є кільцем Дедекінда.
• Кільце Дедекінда, що має лише скінченну кількість простих ідеалів є кільцем головних ідеалів.
• Фактор-кільце кільця Дедекінда за будь-яким ненульовим ідеалом є кільцем головних ідеалів.
• Кільце Дедекінда є факторіальним кільцем тоді й лише тоді, коли воно є кільцем головних ідеалів.
• Нехай $R$ — кільце Дедекінда, $I$ — його ненульовий ідеал і $a\in I$ — довільний елемент ідеалу. Тоді існує такий елемент $b\in I$, що елементи $a,b$ породжують $I$. Зокрема кожен ідеал кільця Дедекінда породжується щонайбільше двома елементами.
• Дробові ідеали кілець Дедекінда утворюють групу. Фактор-група цієї групи по підгрупі головних дробових ідеалів називається групою класів ідеалів. У 1966 році Клеборн довів, що для кожної абелевої групи $G$ існує кільце Дедекінда група класів ідеалів якого ізоморфна $G$. Лідам-Грін показав, що таке кільце можна завжди отримати як ціле замикання кільця головних ідеалів у квадратичному розширенні його поля часток.

Модулі над кільцем Дедекінда

Для кілець Дедекінда існує структурна теорема скінченнопороджених модулів яка є близькою до такої теореми для кілець головних ідеалів.

Нехай $R$ — кільце Дедекінда і $M$ — скінченнопороджений модуль над ним. Нехай $T\subset M$ позначає підмодуль кручення, тобто підмодуль таких елементів $m\in M$, що $rm=0$ для деякого $0\neq r\in R$. Тоді $M=T\oplus P$, де $P$ — модуль без кручень.

Тому для класифікації скінченнопороджених модулів достатньо класифікувати всі такі модулі кручень і модулі без кручень.

Для модуля кручень $T\cong R/I_{1}\oplus \ldots \oplus R/I_{n}$, де для ідеалів виконуються включення $I_{i}\supseteq I_{i+1}$. Цей розклад є єдиним з точністю до ізоморфізму.

Для модулів без кручень $P\cong R^{n}\oplus I$, де $I$ — ідеал кільця і $R^{n}\oplus I\cong R^{m}\oplus J\iff n=m\;\land \;I\cong J.$

Див. також

• Область Прюфера
• Диферентний ідеал

Посилання

• Теорія алгебричних чисел. Конспект лекцій КНУ [Архівовано 17 січня 2015 у Wayback Machine.]

Література

• Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — 2-е изд. — Москва, 1972.(рос.)
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)