У алгебраїчній теорії чисел і абстрактній алгебрі диферентним ідеалом або диферентою називається деякий ідеал пов'язаний із розширенням дедекіндових кілець. Диферентний ідеал пов'язаний із поняттями дискримінанта і норми ідеалу і є важливим, зокрема для дослідження розгалуження простих ідеалів.

ОзначенняРедагувати

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, Lскінченне сепарабельне розширення поля K, Bціле замикання кільця A в L. Нехай L — деяка адитивна підгрупа поля E.

Для неї можна ввести доповнюючу множину L' (щодо сліду) як сукупність всіх тих  , для яких

 

L' є адитивною підгрупою у E. Якщо   — дві адитивні підгрупи, то  . Якщо Al = L то також AL' = L'.

Зокрема якщо L = B то B' є дробовим ідеалом кільця B. Оскільки B є дедекіндовим кільцем для дробового ідеалу B' існує обернений дробовий ідеал   у групі дробових ідеалів.

Ідеал   називається диферентним ідеалом або диферентою розширення B/A. Диферентний ідеал є звичайним ідеалом кільця B.

У алгебричній теорії чисел цей ідеал також називається відносним диферентним ідеалом. Абсолютним диферентним ідеалом числового поля K називається  . цьому випадку використовується позначення  .

Якщо   — дробовий ідеал кільця B то   теж є адитивною підгрупою і диферентним ідеалом цього дробового ідеалу називається дробовий ідеал  .

ПрикладРедагувати

Нехай  , де  число, вільне від квадратів. Тоді для абсолютного диферентного ідеала:

 

ВластивостіРедагувати

  • Диферентний ідеал розширення B/A є звичайним ідеалом кільця B. Диферента довільного дробового ідеалу теж є дробовим ідеалом.
  • Якщо при тих же позначеннях, що і вище   — відносний диферентний ідеал і   — диферентний ідеал дробового ідеалу   то  .
  • Диферентний ідеал породжується елементами виду  , де   і  похідна мінімального многочлена елемента   над полем K. Зокрема   тоді і тільки тоді коли   є головним ідеалом породженим елементом  .
  • Якщо   є скінченними сепарабельними розширеннями з властивостями, як і вище, то
 
  • Нехай S — мультиплікативна система у кільці A. Тоді  , де   позначає локалізацію кільця по множині S.
  •  , де   позначає відносний дискримінант розширення B/A, а  норму ідеалу.
  • У випадку числових полів клас відносного диферента завжди є квадратом у групі класів ідеалів. У загальному випадку це не так. Наприклад Фреліх і Тейт знайшли приклад скінченного сеперабельного розширення функціональних полів однієї змінної для якого відносний диферент не є квадратом.
  • При тих же позначеннях, що і вище і для кожного простого ідеалу   кільця B позначимо  поповнення кільця B щодо нормування по ідеалу  . У цьому випадку   є простим ідеалом кільця A і поповнення по цьому ідеалу позначимо  . Тоді є справедливою рівність:
 
Добуток у правій частині має зміст оскільки для всіх простих ідеалів окрім скінченної кількості  .

Диферент і розгалуження простих ідеалівРедагувати

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Припустимо також, що для будь-якого простого ідеалу   кільця B поле лишків   є досконалим.

Нехай тепер  простий ідеал кільця A. Тоді  , де   — прості ідеали кільця B, що містять   (їх кількість є скінченною), а   називаються індексами розгалуження ідеалів  . Якщо   то кажуть, що відповідний ідеал розгалужується.

Розгалуження є тісно пов'язані із диферентами. А саме простий ідеал   розгалужується тоді і тільки тоді коли він ділить диферент  . До того ж якщо характеристика поля   не ділить  , то найбільшим степенем   на який ділиться   є  . В іншому випадку   ділиться на вищий степінь ідеалу  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати