Поповнення (комутативна алгебра)

Поповнення кільця або модуля є методом у комутативній алгебрі, в якому кільце або модуль поповнюється щодо заданої метрики, яка є індукованою ідеалом. Термін геометрично пов'язаний з локалізацією кільця: обидва кільця досліджують околи точки в спектрі кільця, але поповнення ще більше відображає локальні властивості.

Означення

Поповнення кільця щодо ідеалу

Всюди у цій статті кільця вважаються комутативними з одиницею.

Нехай $A$ кільце і $I$ ідеал. Позначимо $A^{\mathbb {N} }=\prod _{n\in \mathbb {N} }A$

Послідовність $(a_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}=(a_{0},a_{1},\dots )$ називається нульовою, якщо для всіх $n\in \mathbb {N}$ існує число $k\in \mathbb {N}$, таке що $\forall i>k:a_{i}\in I^{n}$

Позначимо $\mathrm {NF}$ ідеал всіх нульових послідовностей.

Послідовність $(a_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}$ називається фундаментальною або послідовністю Коші, коли для всіх $n\in \mathbb {N}$ існує число $k\in \mathbb {N}$, таке що:

$\forall i,j>k:(a_{i}-a_{j})\in I^{n}$

Позначимо $\mathrm {CF}$ кільце всіх фундаментальних послідовностей.

Фактор-кільце ${\hat {A}}_{I}:=\mathrm {CF} /\mathrm {NF}$ називається поповненням $A$ за $I$.

Якщо $a\in A$ то послідовність $(a,a,a\dots )$ є очевидно фундаментальною і тому існує гомоморфізм

$f\colon A\to {\hat {A}}$

$f\colon a\mapsto (a,a,\dots ).$

Даний гомоморфізм є ін'єктивним, якщо:

$\bigcap _{i=0}^{\infty }I^{i}=\{0\}$

Зокрема ця рівність виконується для важливого випадку локальних нетерових кілець (для яких це твердження є наслідком леми Артіна — Ріса).

Кільце називається повним (по відношенню до $I$), якщо $f$ є ізоморфізмом.

Поповнення модулів

Фільтрацією модуля $M$ над кільцем $A$ називається послідовність $(M_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ така, що:

$M=M_{0}\supset M_{1}\supset ...\supset M_{i}\supset$

Найважливішим частковим випадком є послідовність $M_{n}=I^{n}M$ для деякого ідеала $I$. Ця фільтрація називається $I$-адичною.

Ввівши модуль послідовностей $M^{\mathbb {N} }$ і використовуючи $M_{n}$ замість $I_{n}$ можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля

${\hat {M}}=CF/NF$ щодо фільтрації чи, в окремому випадку $M_{n}=I^{n}M$ щодо ідеала $I$.

Модуль $M$ називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення:

$f\colon M\to {\hat {M}}$ є ізоморфізмом.

Альтернативні означення

Як поповнення метричного простору

Поповнення кільця за ідеалом можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці. Нехай $A$ кільце і $I$ ідеал. Тоді на $A$ можна задати псевдометрику:

$\mathrm {d} _{I}(x,y)=\mathrm {inf} \{2^{-i}|x-y\in I^{i}\}\ ({\text{ mit }}I^{0}:=A)$

Якщо до того ж виконується:

$\bigcap _{i=0}^{\infty }I^{i}=\emptyset ,$

то функція $\mathrm {d} _{I}$ є метрикою, тобто додатково

$\mathrm {d} _{I}(x,y)=0\Rightarrow x=y.$

До метричного простору $(A,\mathrm {d} _{I})$ можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.

За допомогою проективних границь

Оберненою системою кілець (або модулів)називається ряд кілець (або модулів) і гомоморфізмів між ними $(A_{i},f_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}$ де гомоморфізми визначені як

$f_{n}\colon A_{n}\to A_{n-1}.$

Проективною границею цієї системи називається кільце:

$\lim _{\longleftarrow }(A_{n},f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:={\biggl \{}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}{\biggl |}x_{n}\in A_{n},f_{n}(x_{n})=x_{n-1}{\biggl \}}$

Якщо тепер $I\subset A$ ідеал і позначивши

$A_{i}=A/I^{i}$

$A_{0}=0$

$f_{i+1}\colon A_{i+1}\to A_{i}$ — природний гомоморфізм кільця $A_{i+1}$ у його фактор-кільце $A_{i}=A_{i+1}/(I^{n+1}/I^{n})$,

отримаємо кільце ізоморфне поповненню кільця:

${\hat {A}}_{I}\cong \lim _{\longleftarrow }(A_{n},f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$

Властивості

• Нехай $A$ і $B$ — кільця і $I\subset A$ і $J\subset B$ — ідеали. Якщо $f\colon A\to B$ — гомоморфізм кілець для якого $f(I)\subset J$, то можна визначити гомоморфізм ${\hat {f}}\colon {\hat {A}}\to {\hat {B}}$
• Нехай $A$ — локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом $m$ і ${\hat {A}}$ його поповнення. Тоді:

$\mathrm {dim} (A)=\mathrm {dim} ({\hat {A}})$ ($\mathrm {dim} (A)$ позначає розмірність Круля кільця)

$A$ є регулярним, якщо і тільки якщо таким є ${\hat {A}}$.

• Теорема Коена про структуру: якщо $A$ регулярне локальне кільце, яке є повним щодо його максимального ідеала і містить в собі поле, то:

$A\cong k[[X_{1},\dots ,X_{n}]]$ де $k$ є полем лишків кільця $A$.

• Поповнення кільця Нетер $A$ є плоским модулем над $A$.
• Якщо $A$ — кільце і $M$ — скінченнопороджений модуль над кільцем $A$ то відображення $\varphi _{M}:M\otimes _{A}{\hat {A}}\to {\hat {M}}$ є сюр'єктивним. Якщо додатково $A$ є нетеровим кільцем, то це відображення є ізоморфізмом. В даному випадку поповнення модуля здійснюється за фільтрацією $M_{n}=I^{n}M$. Зокрема для деякого ідеала $I$ у нетеровому кільці $A$ звідси випливає ${\hat {I}}\simeq I\otimes _{A}{\hat {A}}\simeq {\hat {A}}I.$
• Нехай $M$ є $A$-модулем і $(M_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ — задана на ньому фільтрація. Якщо для довільного $n\in \mathbb {N}$ розглядати модуль $M_{n}$ з індукованою фільтрацією, то ${\hat {M}}_{n}$ є підмодулем ${\hat {M}}$ і також ${\hat {M}}/{\hat {M}}_{n}\simeq M/M_{n}.$
• Для поповнення ідеала $I$ у нетеровому кільці $A$ (щодо $I$-адичної фільтрації) справедливими є твердження: $({\hat {I}})^{n}={\widehat {(I^{n})}},\quad I^{n}/I^{n+1}\simeq {\hat {I}}^{n}/{\hat {I}}^{n+1}.$ Також ${\hat {I}}$ є підмножиною радикала Джекобсона кільця ${\hat {A}}$
• Нехай $M$ є $A$-модулем і $(M_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ — задана на ньому фільтрація. Тоді $({\hat {M}}_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ (де ${\hat {M}}_{i}$ означені як і вище) є фільтрацією модуля ${\hat {M}}$ і для цієї фільтрації ${\hat {\hat {M}}}={\hat {M}}.$
• Нехай

$0\to M'\;{\xrightarrow {f}}\;M\;{\xrightarrow {g}}\;M''\to 0$

коротка точна послідовність $A$-модулів і $(M_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ — фільтрація модуля $M$. Нехай $(f^{-1}M_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ і $(gM_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ — індуковані фільтрації на модулях $M'$ і $M''.$ Тоді поповнення модулів щодо цих фільтрацій утворюють точну послідовність

$0\to {\hat {M}}'\;{\xrightarrow {\;}}{\hat {M}}\;{\xrightarrow {\;}}{\hat {M}}''\to 0.$

Зокрема це справедливо, якщо на всіх модулях фільтрація є породжена деяким ідеалом кільця: $M_{n}=I^{n}M$

Приклади

Формальний степеневий ряд

Якщо $A$ є кільцем многочленів $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ над полем $K$ і $I$ ідеал породжений елементами $(X_{1},\dots ,X_{n})$

Поповнення кільця $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ за ідеалом $I$ є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів $K[[X_{1},\dots ,X_{n}]].$

Р-адичні числа

р-адичні числа $\mathbb {Q} _{p}$ є поповненням поля $\mathbb {Q}$ щодо $p$-адичної метрики $d_{p}$ (де $p$ — деяке просте число) яка задається так: для раціональних чисел $q$ і $r$ маємо

$q-r=\pm \ p^{i}\cdot {\dfrac {s}{t}}$

де $s,t\in \mathbb {N}$ і $i\in \mathbb {Z}$ і $p$ не ділить жодне з чисел $s,t$ Тоді

$d_{p}(q-r)=p^{-i}$

Послідовність цілих чисел є фундаментальною щодо $p$-адичної метрики, якщо вона є фундаментальною щодо ідеалу $(p)$. Таким чином, ми отримуємо вкладення:

$f\colon {\widehat {\mathbb {Z} }}_{p}\hookrightarrow \mathbb {Q} _{p}$.

Тут, ліва сторона позначає поповнення $\mathbb {Z}$ за $(p)$. Це вкладення задає ізоморфізм ${\widehat {\mathbb {Z} _{p}}}\cong \mathbb {Z} _{p}$ з кільцем $p$-адичних цілих чисел, яке і є поповненням цілих чисел щодо ідеалу $(p)$.

Геометричний Приклад

Графік кривої $y^{2}=x^{2}(x+1)$ в дійсній афінній площині

Нехай $X$ плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням

$y^{2}=x^{2}(x+1)$

У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою $0=xy$. Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом ${\hat {A}}\cong {\hat {B}}$ де

$A:=K[[x,y]]/(y^{2}-x^{2}-x^{3})_{({\bar {x}},{\bar {y}})}$

і

$B:=K[[x,y]]/(xy)_{({\bar {x}},{\bar {y}})}$

Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.

Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.

Інтерпретація в алгебричній геометрії

У алгебричній геометрії особливе значення мають поповнення локальних кілець в точках алгебричних многовидів. Вони є важливими для вивчення локальної поведінки многовидів і дають часто значно більше інформації, ніж самі локальні кільця. Зокрема якщо дві точки $P\in X$ і $Q\in Y$ на незвідних алгебричних многовидах мають ізоморфні локальні кільця, то многовиди $X$ і $Y$ є біраціональними. Локальне кільце несе майже всю інформацію про многовид, тоді як поповнення локального кільця має властивості, які інтуїтивно більш характерні саме для локальної інформації.

З теореми Коена випливає, що регулярні точки на алгебричних многовидах мають ізоморфні поповнення відповідних локальних кілець, тоді і тільки тоді коли відповідні многовиди мають однакову розмірність.

Див. також

• Локалізація кільця

Література

• Bruske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
• Ernst Kunz, «Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry», Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9