Поповнення (комутативна алгебра)

Поповнення кільця або модуля є методом у комутативній алгебрі, в якому кільце або модуль поповнюється щодо заданої метрики, яка є індукованою ідеалом. Термін геометрично пов'язаний з локалізацією кільця: обидва кільця досліджують околи точки в спектрі кільця, але поповнення ще більше відображає локальні властивості.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Поповнення кільця щодо ідеалуРедагувати

Всюди у цій статті кільця вважаються комутативними з одиницею.

Нехай   кільце і   ідеал. Позначимо  

Послідовність   називається нульовою, якщо для всіх   існує число  , таке що  

Позначимо   ідеал всіх нульових послідовностей.

Послідовність   називається фундаментальною або послідовністю Коші, коли для всіх   існує число  , таке що:

 

Позначимо   кільце всіх фундаментальних послідовностей.

Факторкільце   називається поповненням   по  .

Якщо   то послідовність   є очевидно фундаментальною і тому існує гомоморфізм

 
 

Даний гомоморфізм є ін'єктивним, якщо:

 

Зокрема ця рівність виконується для важливого випадку локальних нетерових кілець (для яких це твердження є наслідком леми Артіна — Ріса).

Кільце називається повним (по відношенню до  ), якщо   є ізоморфізмом.

Поповнення модулівРедагувати

Фільтрацією модуля   над кільцем   називається послідовність   така, що:

 

Найважливішим частковим випадком є послідовність   для деякого ідеала  . Ця фільтрація називається  -адичною.

Ввівши модуль послідовностей   і використовуючи   замість   можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля

  щодо фільтрації чи, в окремому випадку   щодо ідеала  .

Модуль   називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення:

  є ізоморфізмом.

Альтернативні означенняРедагувати

Як поповнення метричного просторуРедагувати

Поповнення кільця по ідеалу можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці. Нехай   кільце і   ідеал. Тоді на   можна задати псевдометрику:

 

Якщо до того ж виконується:

 

то функція   є метрикою, тобто додатково

 

До метричного простору   можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.

За допомогою проективних границьРедагувати

Оберненою системою кілець (або модулів)називається ряд кілець (або модулів) і гомоморфізмів між ними   де гомоморфізми визначені як

 

Проективною границею цієї системи називається кільце:

 

Якщо тепер   ідеал і позначивши

 
 
  - природній гомоморфізм кільця   у його факторкільце  ,

отримаємо кільце ізоморфне поповненню кільця:

 

ВластивостіРедагувати

  • Нехай   і   — кільця і   і   — ідеали. Якщо  гомоморфізм кілець для якого  , то можна визначити гомоморфізм  
  • Нехай   — локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом   і   його поповнення. Тоді:
  (  позначає розмірність Круля кільця)
  є регулярним, якщо і тільки якщо таким є  .
  • Теорема Коена про структуру: якщо   регулярне локальне кільце, яке є повним щодо його максимального ідеала і містить в собі поле, то:
  де   є полем лишків кільця  .
  • Поповнення кільця Нетер   є плоским модулем над  .
  • Якщо   — кільце і  скінченнопороджений модуль над кільцем   то відображення   є сюр'єктивним. Якщо додатково   є нетеровим кільцем, то це відображення є ізоморфізмом. В даному випадку поповнення модуля здійснюється по фільтрації  . Зокрема для деякого ідеала   у нетеровому кільці   звідси випливає  
  • Нехай   є  -модулем і   — задана на ньому фільтрація. Якщо для довільного   розглядати модуль   з індукованою фільтрацією, то   є підмодулем   і також  
  • Для поповнення ідеала   у нетеровому кільці   (щодо  -адичної фільтрації) справедливими є твердження:   Також   є підмножиною радикала Джекобсона кільця  
  • Нехай   є  -модулем і   — задана на ньому фільтрація. Тоді   (де   означені як і вище) є фільтрацією модуля   і для цієї фільтрації  
  • Нехай
 
коротка точна послідовність  -модулів і   — фільтрація модуля  . Нехай   і   — індуковані фільтрації на модулях   і   Тоді поповнення модулів щодо цих фільтрацій утворюють точну послідовність
 
Зокрема це справедливо, якщо на всіх модулях фільтрація є породжена деяким ідеалом кільця:  

ПрикладиРедагувати

Формальний степеневий рядРедагувати

Якщо   є кільцем многочленів   над полем   і   ідеал породжений елементами  

Поповнення кільця   по ідеалу   є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів  

Р-адичні числаРедагувати

р-адичні числа   є поповненням поля   щодо  -адичної метрики   (де   — деяке просте число) яка задається так: для раціональних чисел   і   маємо

 

де   і   і   не ділить жодне з чисел   Тоді

 

Послідовність цілих чисел є фундаментальною щодо  -адичної метрики, якщо вона є фундаментальною щодо ідеалу  . Таким чином, ми отримуємо вкладення:

 .

Тут, ліва сторона позначає поповнення   по  . Це вкладення задає ізоморфізм   з кільцем  -адичних цілих чисел, яке і є поповненням цілих чисел щодо ідеалу  .

Геометричний ПрикладРедагувати

 
Графік кривої   в дійсній афінній площині

Нехай   плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням

 

У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою  . Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом   де

 

і

 

Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.

Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.

Інтерпретація в алгебричній геометріїРедагувати

У алгебричній геометрії особливе значення мають поповнення локальних кілець в точках алгебричних многовидів. Вони є важливими для вивчення локальної поведінки многовидів і дають часто значно більше інформації, ніж самі локальні кільця. Зокрема якщо дві точки   і   на незвідних алгебричних многовидах мають ізоморфні локальні кільця, то многовиди   і   є біраціональними. Локальне кільце несе майже всю інформацію про многовид, тоді як поповнення локального кільця має властивості, які інтуїтивно більш характерні саме для локальної інформації.

З теореми Коена випливає, що регулярні точки на алгебричних многовидах мають ізоморфні поповнення відповідних локальних кілець, тоді і тільки тоді коли відповідні многовиди мають однакову розмірність.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Bruske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
  • Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9