Регулярне локальне кільце

Регулярне локальне кільце — нетерове локальне кільце, таке що число твірних його максимального ідеалу збігається з розмірністю Круля кільця. Назва регулярне пояснюється геометричними причинами. Точка $x$ алгебраїчного многовида $X$ є неособливою (регулярною) тоді і тільки тоді, коли локальне кільце ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ростків раціональних функцій в точці $x$ є регулярним.

Визначення

Регулярні локальні кільця

Існує кілька еквівалентних визначень регулярного локального кільця. Зокрема, якщо $A$  — нетерове локальне кільце з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$, такі визначення еквівалентні:

• Нехай ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ де $n$ вибрано настільки малим, наскільки це можливо (в будь-якому випадку, n не може бути меншим розмірності Круля). $A$ є регулярним, якщо

${\mbox{dim}}A=n.$

• Нехай $k=A/{\mathfrak {m}}$  — поле лишків кільця $A$. Тоді $A$ є регулярним, якщо

$\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A$,

Тут перша розмірність  — розмірність векторного простору, а друга  — розмірність Круля.

• Нехай ${\mbox{gl dim}}A$  — глобальна розмірність $A$ (тобто супремум проективних розмірностей всіх $A$-модулів.) Тоді $A$ є регулярним, якщо

${\mbox{gl dim}}A<\infty$,

У цьому випадку ${\mbox{gl dim}}A$ завжди збігається з розмірністю Круля.

Множина твірних максимального ідеалу кількість елементів якої рівна розмірності Круля називається регулярною системою твірних.

Регулярні кільця

Кільце A називається регулярним, якщо його локалізація по довільному простому ідеалу  — регулярне локальне кільце.

Інше нееквівалентне означення регулярного кільця дав Серр. Згідно цього означення комутативне кільце називається регулярним, якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Регулярне в сенсі Серра кільце є регулярним але не обов'язково навпаки.

Приклади

• Будь-яке поле  — регулярне локальне кільце. Насправді, поля  — це всі регулярні локальні кільця розмірності 0.
• Регулярні локальні кільця розмірності 1  — це кільця дискретного нормування. Зокрема, кільце формальних степеневих рядів $k[[x]]$ (k  — довільне поле) є регулярним локальним кільцем. Інший приклад  — кільце p-адичних чисел.
• Більш загально, кільце формальних степеневих рядів $k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$ — регулярне локальне кільце розмірності d .
• Всі кільця Дедекінда є регулярними.
• Нехай R — локалізація кільця ${\frac {k[X,Y]}{(X^{3}-Y^{2})}},$ де k  — поле по максимальному ідеалу ${\mathfrak {m}}=({\bar {X}},{\bar {Y}}).$ Тоді R не є регулярним локальним кільцем. У цьому випадку $\dim R=\operatorname {ht} {\mathfrak {m}}=1$ оскільки $\operatorname {ht} (X,Y)=2,$ а $X^{3}-Y^{2}$ не є дільником нуля у кільці $k[X,Y].$ Натомість $({\bar {X}},{\bar {Y}})$ є мінімальною породжуючою множиною.

Властивості

• Теорема Аусландера — Бухсбаума стверджує, що кожне регулярне локальне кільце є факторіальним кільцем.
• Якщо $(A,{\mathfrak {m}})$ — повне регулярне локальне кільце, що містить деяке поле, то

$A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]$,

де $k=A/{\mathfrak {m}}$, а $d$  — розмірність Круля. Це твердження є найважливішим частковим випадком структурної теореми Коена, що описує будову усіх повних регулярних кілець.

• Асоційоване градуйоване кільце $\operatorname {Gr} (A)=\bigoplus _{n\geqslant 0}({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1})$ є ізоморфним кільцю многочленів $k[X_{1},...,X_{n}],$ де $k=A/{\mathfrak {m}}.$
• Регулярне локальне кільце є областю цілісності.
• Якщо A  — регулярне кільце, то кільце многочленів $A[x]$ і кільце формальних степеневих рядів $A[[x]]$ є регулярними.
• Будь-яка локалізація регулярного кільця є регулярним кільцем. Наприклад, $\mathbb {Z} [x]_{(2,x)}$  — двовимірне регулярне кільце, яке не містить ніякого поля.
• Поповнення регулярного кільця є регулярним.
• Нехай A — регулярне локальне кільце і ${\mathfrak {p}}$ — його простий ідеал. Кільце $A/{\mathfrak {p}}$ є регулярним локальним кільцем тоді і тільки тоді коли ідеал ${\mathfrak {p}}$ породжується деякою підмножиною системи регулярних твірних. Якщо кількість цих елементів рівна t, а розмірність A рівна n то розмірність $A/{\mathfrak {p}}$ рівна n — t.

Застосування в алгебраїчній геометрії

Визначення регулярного локального кільця було дано Вольфгангом Крулем в 1937 році, проте вони стали відомими завдяки роботам Оскара Зариського, який довів що регулярні локальні кільця відповідають гладким точкам алгебраїчних многовидів.

Нехай Y  — алгебраїчний многовид, що міститься в n-вимірному афінному просторі над досконалим полем, і визначається як множина загальних нулів многочленів (від n змінних) f₁,…,f_m. Y є особливим у точці P, якщо ранг матриці Якобі (матриці (∂f_i/∂x_j)) в цій точці є меншим, ніж в іншій точці многовида. Розмірність многовида дорівнює різниці n і рангу матриці Якобі в неособливих точках. Зариський довів, що матриця Якобі в точці P є неособливою тоді і тільки тоді, коли локальне кільце многовида Y в P є регулярним. Зариський також зауважив, що це не обов'язково вірно для недосконалих полів.) З цього випливає, що гладкість є внутрішньою властивістю многовида, тобто не залежить від конкретного вкладення многовида в афінний простір.

Див. також

• Локальне кільце
• Розмірність Круля
• Структурна теорема Коена

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії

Література

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Jean-Pierre Serre , Local algebra, Springer-Verlag, 2000.  — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.