Відкрити головне меню

В алгебричній геометрії алгебричний многовидмножина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.

Афінні многовидиРедагувати

Нехай   є алгебрично замкнуте поле і  n-мірний афінний простір над  . Многочлени   можна розглядати як функції з  , зі значеннями в  . Для кожного   можна визначити підмножину  , в якій значення всіх поліномів з множини   рівне нулю:

 

Підмножина  , множини   називається афінною алгебричною множиною, якщо   для деякої  . Непорожня афінна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для   нехай  ідеал многочленів, значення яких на множині   рівні нулю.

 

Для будь-якої алгебричної множини   координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.

Проективні многовидиРедагувати

Нехай   — n-мірний проективний простір над полем  . Однорідний многочлен  , можна розглядати як функцію  , зі значеннями в  . Для будь-якого   аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

 

Підмножина  , множини   називається проективною алгебричною множиною, якщо   для деякої  . Непорожня проективна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проективні алгебричні множини називаються проективними алгебричними многовидами, або просто проективними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для   Нехай   — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині   рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебричної множини   фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивостіРедагувати

  • Афінна алгебрична множина   є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли   є простим ідеалом.
  • Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати