Алгебричний многовид

В алгебричній геометрії алгебричний многовидмножина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

ВизначенняРедагувати

Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди, проєктивні многовиди і квазі-проєктивні многовиди.

Афінні многовидиРедагувати

Нехай   є алгебрично замкнуте поле і  n-вимірний афінний простір над  . Многочлени   можна розглядати як функції з  , зі значеннями в  . Для кожного   можна визначити підмножину  , в якій значення всіх поліномів з множини   рівне нулю:

 

Підмножина  , множини   називається афінною алгебричною множиною, якщо   для деякої  . Непорожня афінна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для   нехай  ідеал многочленів, значення яких на множині   рівні нулю.

 

Для будь-якої алгебричної множини   координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.

Проєктивні многовидиРедагувати

Нехай   — n-вимірний проєктивний простір над полем  . Однорідний многочлен  , можна розглядати як функцію  , зі значеннями в  . Для будь-якого   аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

 

Підмножина  , множини   називається проєктивною алгебричною множиною, якщо   для деякої  . Непорожня проєктивна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проєктивні алгебричні множини називаються проєктивними алгебричними многовидами, або просто проєктивними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для   Нехай   — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині   рівне нулю. Для будь-якої проєктивної алгебричної множини   фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивостіРедагувати

  • Афінна алгебрична множина   є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли   є простим ідеалом.
  • Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій

ЛітератураРедагувати