Лема Артіна — Ріса

В математиці, лемою Артіна — Ріса називається важливе твердження про властивості модулів над кільцями Нетер. Лема використовується зокрема для доведення теореми Круля про перетини і має важливі застосування в алгебричній геометрії. Названа на честь Еміля Артіна і Девіда Ріса.

ТвердженняРедагувати

Нехай I — ідеал в нетеровому кільці R; нехай Mскінченнопороджений модуль над R і N його підмодуль. Тоді існує ціле число k ≥ 1, що для всіх цілих чисел n ≥ k,

 

ДоведенняРедагувати

Для довільного кільця R і його ідеалу I, позначимо  . Оскільки   можна розглядати   як градуйоване кільце. Якщо позначити   — множину твірних елементів ідеалу I (дана множина є скінченною оскільки R є нетеровим кільцем), то елементи   є породжуючими для   як алгебри над R і тому   є ізоморфним деякій факторалгебрі многочленів   і згідно теореми Гільберта про базис   є кільцем Нетер.

Спадна послідовність скінченнопороджених підмодулів   називається I-фільтрацією якщо  ; I-фільтрація називається стабільною якщо   для достатньо великого n. Для модуля M з I-фільтрацією, позначимо  ; це є градуйованим модулем над градуйованим кільцем  .

  є скінченнопородженим модулем над   якщо і тільки якщо   є I-стабільним.

Справді, якщо фільтрація є I-стабільною, то   є породженою   членами   кожен з яких теж є скінченно породжений; тому,   є скінченно породженим. Навпаки, якщо цей модуль є скінченно породженим, наприклад, елементами з  , тоді для  , кожен елемент f з   може бути записаним як

 

для породжуючих елементів   з   (для кожного елемента   індекс   береться максимальним з тих, що  ). Тобто,  .

Позначимо тепер  . Тоді   є I-стабільною фільтрацією. Тому з попереднього отримуємо, що   є скінченно породженим над   і тому   є нетеровим модулем і кожен його підмодуль є скінченно породженим над  ; зокрема,   є скінченно породженим коли на N визначити індуковану фільтрацію; тобто  . Індукована фільтрація тоді теж буде I-стабільною, що й доводить твердження леми

Теорема Круля про перетиниРедагувати

Нехай R комутативне нетерове кільце, I — власний ідеал у R і M — скінченнопороджений модуль над R. Тоді перетину

 

належать всі елементи   для яких   для деякого елемента  , який може бути обраний єдиним для всіх  .

ДоведенняРедагувати

Очевидно, що якщо   для деякого елемента   то   і відповідно  .

Навпаки застосувавши лему Артіна — Ріса для M і N визначених у цьому розділі, отримуємо деяке k, таке що для всіх  ,   Зокрема для  :

 

Але оскільки  то звідси   і згідно леми Накаями існує   такий, що   для всіх  .

Наслідок для локальних нетерових кілецьРедагувати

Для власного ідеалу I в комутативному локальному нетеровому кільці  .

Оскільки   то достатньо довести твердження для єдиного максимального ідеалу локального кільця. Взявши в теоремі Круля   і враховуючи, що в локальному кільці всі елементи   є оборотними отже не є дільниками 0 отримуємо необхідний результат.

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати