Сепарабельне розширення

Сепарабельне розширення — алгебраїчне розширення поля L/K, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів α, мінімальний многочлен f(x) над K для яких не має кратних коренів. Похідна f'(x) повинна бути по вищезгаданому ненульовим многочленом. За визначенням, всі поля характеристики 0 сепарабельні, тому поняття сепарабельності нетривіальне лише для полів ненульової характеристики p.

Для скінченних розширень маємо наступну теорему:

Якщо K ⊆ L ⊆ K^*, де K^* — алгебраїчне замикання поля К, то L сепарабельне тоді і тільки тоді, коли число різних ізоморфізмів σ L в замикання, алгебри K^*, над K рівне степеню [L:K]. У разі несепарабельних розширень це число є дільником [L:K] і називається сепарабельним степенем [L:K]_s.

Властивості сепарабельних розширень ред.

Нехай K ⊆ L ⊆ F. Якщо L/K і F/L сепарабельні, то і F/K сепарабельне. Навпаки, якщо F/K сепарабельне, то і L/K і F/L сепарабельні.

Якщо L/K сепарабельне, то для будь-якого розширення F/K (якщо F і L містяться в деякому полі) добуток полів LF є сепарабельним розширенням K.

Теорема про первісний елемент:

Якщо L=K(α₁,α₂...α_n) , де α₁ — алгебраїчний (не обов'язково сепарабельний) над K, а α₂...α_n — алгебраїчні і сепарабельні, то існує такий елемент θ, що L=K(θ) (т.з. первісний або примітивний елемент).

Узагальнення сепарабельності на неалгебраїчні розширення ред.

Спочатку введемо поняття лінійної незалежності двох розширень L/K і E/K, де поля L і E є підполями деякого L називається лінійно незалежним від E над K, якщо будь-яка скінченна множина елементів L лінійно незалежна над K залишається лінійно незалежним і над L. Легко доводиться симетричність цього визначення: якщо L лінійно незалежне від E над K, то і навпаки, E лінійно незалежне від L над K.

Позначимо $K^{p^{-m}}$ — розширення поля, породжене приєднанням всіх коренів степеня p^m з елементів K. Розширення L над K називається сепарабельним, якщо L для деякого натурального m лінійне незалежне від $K^{p^{-m}}$ над K. Для алгебраїчних розширень, це визначення еквівалентно звичайному. Можна довести, що від числа m дане визначення не залежить і рівносильно лінійній незалежності L і $K^{p^{-\infty }}$ - добутку всіх $K^{p^{-m}}$ .

Див. також ред.

Література ред.

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)