Дискримінант (теорія полів)

Дискримінант системи елементів поля — одна з важливих конструкцій в теорії розширень полів, що є особливо важливою для числових полів і відповідно має широке застосування у алгебричній теорії чисел.

Означення

Нехай $K$ скінченне розширення поля $k$ степеня $n$ . Відображення $K\times K\to k:(x,y)\to \operatorname {Tr} (x,y)$ де $x,y\in K$ , a $\operatorname {Tr}$ — слід елемента є симетричною білінійною формою на полі $K$ , що розглядається як лінійний простір над $k$ . Дискримінант цієї білінійної форми щодо системи елементів $w_{1},...,w_{m}$ з $K$ називається дискримінантом системи $w_{1},...,w_{m}$ і позначається $D(w_{1},...,w_{m})$ . Тобто, $D(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}):=\det \left(\mathrm {Tr} (w_{i}\cdot w_{j})\right)$ .

Зокрема, якщо зазначена система є базисом $K$ над $k$ , то її дискримінант називається дискримінантом базиса $K$ над $k$ .

Наведені означення можуть бути перенесені також на випадок довільної скінченновимірної асоціативної алгебри над полем на випадок кілець і модулів над ними.

Поля алгебричних чисел

Нехай $k=\mathbb {Q}$ — поле раціональних чисел, $K$ — поле алгебричних чисел і $M$ — деяка ґратка рангу $n$ . Тоді для будь-яких двох базисів ґратки $M$ значення дискримінанта є однаковими і це загальне значення дискримінант називається дискримінантом ґратки $M$ .

Якщо $M$ є кільцем цілих чисел поля $K$ , то дискримінант ґратки $M$ називається просто дискримінантом поля $K$ і позначається $D_{K}$ . Число $D_{K}$ , є важливою характеристикою поля $K$ .

Зазначене означення дискримінанта ґратки в полі алгебричних чисел може бути узагальнене на випадок, коли $k$ — поле часток дедекіндового кільця $A$ , a $K$ — скінченне сепарабельне розширення поля $k$ степеня $n$ . Нехай $B$ — ціле замикання кільця $A$ в $K$ і ${\mathfrak {b}}$ — довільний дробовий ідеал кільця $B$ . Тоді дискримінантом ідеалу ${\mathfrak {b}}$ називається $A$ -модуль $D({\mathfrak {b}})$ , породжений всіма дискримінантами виду $D(w_{1},...,w_{n})$ , де $\{w_{1},...,w_{n}\}$ пробігає усі базиси поля $K$ над $k$ , що належать ${\mathfrak {b}}$ . $D({\mathfrak {b}})$ буде дробовим ідеалом кільця $A$ . У випадку ${\mathfrak {b}}=B$ для $D(B)$ також використовуються позначення $D_{K/k}$ і $D_{B/A}$ . У цьому випадку $D(B)$ є ідеалом кільця $A$ .

Зокрема якщо $A$ — кільце головних ідеалів і ${\mathfrak {b}}=B$ , то $B$ є вільним модулем над $A$ розмірності $n$ і $D(B)$ є головним ідеалом, породженим дискримінантом довільного базиса $B$ над $A$ . Кожен такий базис є також базисом розширення $K/k$ і два такі дискримінанти відрізняються добутком на оборотний елемент, тобто породжують однаковий ідеал. Зокрема це справедливо для $k=\mathbb {Q}$ і $A=\mathbb {Z}$ . У випадку коли $A$ не є кільцем головних ідеалів, $B$ може не бути вільним модулем і $D(B)$ може не бути головним ідеалом.

Властивості

Дискримінанти двох базисів відрізняються множником, що є квадратом деякого ненульового елемента поля $k$ .

Дійсно якщо

w_{1},...,w_{n}

і

z_{1},...,z_{n}

— два такі базиси і

A_{ij}

— матриця переходу між ними, то,

\left(\mathrm {Tr} (w_{i}\cdot w_{j})\right)=A\left(\mathrm {Tr} (z_{i}\cdot z_{j})\right)A^{T}

. Тому з властивостей визначника випливає, що

D(w_{1},...,w_{n})=(\det(A))^{2}D(z_{1},...,z_{n})

.

Дискримінант будь-якого базису $K$ над $k$ не дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розширення $K/k$ є сепарабельним.
Якщо $f_{x}(t)$ — многочлен степеня $m$ , що є мінімальним многочленом елемента $x$ із сепарабельного розширення $K/k$ , то $D(1,x,x^{2},...,x^{m})$ збігається із стандартним дискримінантом многочлена $f_{x}(t)$ .
У разі сепарабельного розширення $K/k$ дискримінант базиса $w_{1},...,w_{n}$ може бути обчислений за формулою

\Delta (w_{1},...,w_{n})=\left(\operatorname {det} \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(w_{1})&\sigma _{1}(w_{2})&\cdots &\sigma _{1}(w_{n})\\\sigma _{2}(w_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(w_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(w_{n})\end{array}}\right)\right)^{2}.

де $\sigma _{1},...,\sigma _{n}$ — усі різні вкладення $K$ у фіксоване алгебричне замикання поля $k$ , що залишають нерухомими елементи $k$ .

Дискримінанти числового поля

Теорема Бриля: Знак дискримінанта числового поля є рівним $(-1)^{r_{2}}$ де $r_{2}$ є кількістю спряжених пар вкладень $K$ у поле комплексних чисел.
Просте число $p$ розгалужується у $K$ якщо і тільки якщо $p$ ділить $D_{K}$ .
Теорема Штікельбергера:

\Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.

Обмеження Мінковського: Нехай $n$ — степінь розширення $K/\mathbb {Q}$ і $r_{2}$ — кількість спряжених пар вкладень $K$ у поле комплексних чисел. Тоді

|\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.

Теорема Мінковського: Якщо $K$ не є рівним $\mathbb {Q}$ , то $|D_{K}|>1$ .
Теорема Ерміта — Мінковського:Нехай $N$ — додатне ціле число. Тоді існує лише скінченна кількість (з точністю до ізоморфізму) алгебричних числових полів $K$ для яких $|D_{K}|\leqslant N$ .
Якщо $r_{1},r_{2}$ — кількість дійсних і спряжених пар комплексних вкладень. Тоді

\lim _{q\to 1^{+}}(q-1)\zeta _{k}(q)={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}R}{m{\sqrt {|}}D_{K}|}}h

де

\zeta _{k}(q)

— дзета-функція Дедекінда,

h

— порядок групи класів ідеалів,

R

— регулятор поля

K

і

m

— кількість коренів з одиниці в полі

K

.

Дискримінанти дробових ідеалів і скінченних розширень кілець Дедекінда

Тут всюди $A$ — кільце дедекінда з полем часток $k$ , $K$ — скінченне сепарабельне розширення поля $k$ степеня $n$ , $B$ — ціле замикання кільця $A$ в $K$ і ${\mathfrak {b}}$ — довільний дробовий ідеал кільця $B$ .

$D({\mathfrak {b}})$ є дробовим ідеалом кільця $A$ і має місце рівність $D({\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {b}})2D(B)$ , де $N({\mathfrak {b}})$ — норма ідеалу ${\mathfrak {b}}$ .
Дискримінант $D(B)$ збігається з нормою диферента кільця $B$ над $A$ .
Якщо $S\subset A$ — мультиплікативна підмножина то $D_{B_{S}/A_{S}}=(D_{B/A})_{S}$ , де $S$ у нижньому індексі позначає локалізацію по мультиплікативній системі.