Квадратичне поле
Квадратичне поле — розширення степеня 2 поля раціональних чисел . Будь-яке квадратичне поле має вигляд , де , тобто одержується приєднанням до поля елемента .
, де . Тому будь-яке квадратичне поле має вид , де d — ціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким.
При d > 0 поле називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля тобто базис кільця цілих чисел поля над кільцем цілих раціональних чисел , можна взяти
- при ;
- при .
Дискримінант D поля рівний відповідно d при і 4d при .
Група одиниць
ред.Уявні квадратичні поля — єдиний тип полів (окрім ) із скінченною групою одиниць (тобто групою оборотних елементів кільця цілих чисел поля). Ця група має:
- порядок 4 для і твірну ,
- порядок 6 для і твірну ,
- порядок 2 і твірну (-1) для всіх інших уявних квадратичних полів.
Для дійсних квадратичних полів група одиниць ізоморфна прямому добутку де — група порядку 2, породжена числом -1, і — нескінченна циклічна група, породжена основною одиницею . Наприклад, для поля
Розклад простих ідеалів
ред.Закон розкладу простих ідеалів в квадратичному полі допускає просте формулювання: полю можна зіставити символ Кронекера — Якобі. Якщо р — просте число і (D, p) = 1, то ідеал простий в при , і розпадається в добуток двох простих ідеалів при . Якщо D ділиться на р, то (p) є квадратом деякого простого ідеала.
Група класів ідеалів квадратичного поля вивчена краще, ніж для інших класів полів. У разі уявних квадратичних полів теорема Бруера — 3ігеля показує, що число класів ідеалів прямує до нескінченності при . Є рівно 9 однокласних уявних квадратичних полів, а саме при d = - 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163 (див. дискримінанти Гауса). Для дійсних квадратичних полів невідомо чи є скінченною множина однокласних полів.
Існує нескінченно багато квадратичних полів (як уявних, так і дійсних), число класів яких ділиться на дане натуральне число.
Див. також
ред.Література
ред.- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
- Боревич 3. И. Шафаревич. И. Р. Теория чисел. — М., 1985.
- Вейль А. Основы теории чисел = Basic number theory. — Москва : Мир, 1972. — 408 с.(рос.)
- Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. — М.:Л., 1940.
- Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)