Квадратичне поле

Квадратичне поле — розширення степеня 2 поля раціональних чисел $\mathbb {Q}$. Будь-яке квадратичне поле має вигляд $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$, де $d\in \mathbb {Q} ,\;{\sqrt {d}}\notin \mathbb {Q}$, тобто одержується приєднанням до поля $\mathbb {Q}$ елемента ${\sqrt {d}}$.

$\mathbb {Q} [{\sqrt {d_{1}}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {d_{2}}}]\iff d_{1}=c^{2}d_{2}$, де $c\in \mathbb {Q}$. Тому будь-яке квадратичне поле має вид $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$, де d — ціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким.

При d > 0 поле $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ тобто базис кільця цілих чисел поля $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ над кільцем цілих раціональних чисел $\mathbb {Z}$, можна взяти

$\left\{1,{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\ \right\}$ при $d\equiv 1{\pmod {4}}$;

$\left\{1,{\sqrt {d}}\right\}$ при $d\equiv 2,3{\pmod {4}}$.

Дискримінант D поля $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ рівний відповідно d при $d\equiv 1{\pmod {4}}$ і 4d при $d\equiv 2,3{\pmod {4}}$.

Група одиниць

Уявні квадратичні поля — єдиний тип полів (окрім $\mathbb {Q}$) із скінченною групою одиниць (тобто групою оборотних елементів кільця цілих чисел поля). Ця група має:

• порядок 4 для $\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]$ і твірну ${\sqrt {-1}}$,
• порядок 6 для $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ і твірну $\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)$,
• порядок 2 і твірну (-1) для всіх інших уявних квадратичних полів.

Для дійсних квадратичних полів група одиниць ізоморфна прямому добутку $\ \{\pm 1\}\times \{\epsilon \},$ де $\{\pm 1\}$ — група порядку 2, породжена числом -1, і $\{\epsilon \}$ — нескінченна циклічна група, породжена основною одиницею $\epsilon$. Наприклад, для поля $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],~\epsilon =1+{\sqrt {2}}.$

Розклад простих ідеалів

Закон розкладу простих ідеалів в квадратичному полі допускає просте формулювання: полю $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ можна зіставити символ Кронекера — Якобі. Якщо р — просте число і (D, p) = 1, то ідеал $(p)=pO_{\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ простий в $O_{\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ при $\left({\frac {D}{p}}\right)=-1$, і розпадається в добуток двох простих ідеалів при $\left({\frac {D}{p}}\right)=1$. Якщо D ділиться на р, то (p) є квадратом деякого простого ідеала.

Група класів ідеалів квадратичного поля вивчена краще, ніж для інших класів полів. У разі уявних квадратичних полів теорема Бруера — 3ігеля показує, що число класів ідеалів прямує до нескінченності при $d\to \infty$. Є рівно 9 однокласних уявних квадратичних полів, а саме при d = - 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163 (див. дискримінанти Гауса). Для дійсних квадратичних полів невідомо чи є скінченною множина однокласних полів.

Існує нескінченно багато квадратичних полів (як уявних, так і дійсних), число класів яких ділиться на дане натуральне число.

Див. також

• Гаусові числа

Література

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
• Боревич 3. И. Шафаревич. И. Р. Теория чисел. — М., 1985.
• Вейль А. Основы теории чисел = Basic number theory. — Москва : Мир, 1972. — 408 с.(рос.)
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. — М.:Л., 1940.
• Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)