У комутативній алгебрі, областями Прюфера називається тип комутативних кілець які узагальнюють поняття кільця Дедекінда на випадок кілець, що не обов'язково є нетеровими. Ці кільця мають багато властивостей кілець Дедекінда але зазвичай лише для скінченнопороджених модулів. Названі на честь німецького математика Гайнца Прюфера.

Означення

ред.

Для областей Прюфера існує досить багато еквівалентних означень.

Через ідеали кільця
  • Кожен ненульовий скінченнопороджений ідеал I у кільці R є оборотним: тобто  , де   і   є поле часток R. Еквівалентно, кожен ненульовий ідеал породжений двома елементами є оборотним.
  • Для всіх (скінченнопороджених) ненульових ідеалів I, J, K R, виконується рівність:
 
  • Для всіх (скінченнопороджених) ідеалів I, J, K R, виконується рівність:
 
  • Для всіх (скінченнопороджених) ненульових ідеалів I, J R виконується властивість:
 
  • Для всіх скінченнопороджених ідеалів I, J, K R, якщо IJ = IK тоді J = K або I = 0.
За допомогою локалізацій
За допомогою поняття плоскості модуля
За допомогою поняття цілого замикання
  • Кожне кільце, що містить R і є підкільцем поле часток R є цілозамкнутим
  • R є цілозамкнутим кільцем і є деяке ціле число n, таке що для всіх елементів a, b кільця R виконується рівність (a,b)n = (an,bn).
  • R є цілозамкнуте і кожен елемент поля часток K кільця R є коренем многочлена у R[x] коефіцієнти якого породжують R як R-модуль, (Gilmer та Hoffmann, 1975, с. 81).

Властивості

ред.
  • Комутативне кільце є кільце Дедекінда якщо і тільки якщо воно є областю Прюфера і кільцем Нетер.
  • Хоча області Прюфера можуть не бути нетеровими, вони завжди є когерентними кільцями, оскільки скінченнопороджені проективні модулі є скінченно пов'язаними.
  • Хоча ідеали кільця Дедекінда породжуються двома елементами, для кожного додатного цілого числа n, існує область Прюфера скінченнопороджені ідеали якої породжуються не менше, ніж n елементами, (Swan, 1984). Проте скінченнопороджені максимальні ідеали області Прюфера породжуються двома елементами, (Fontana, Huckaba та Papick, 1997, с. 31).
  • Якщо R є областю Прюфера, і K є її поле часток, тоді будь-яке кільце S для якого RSK є областю Прюфера.
  • Якщо R є область Прюфера, K є її поле часток, і L є алгебричним розширенням поля K, тоді ціле замикання R у L є областю Прюфера, (Fuchs та Salce, 2001, с. 93).
  • Скінченнопороджений модуль M над областю Прюфера є проективним якщо і тільки якщо він є модулем без кручень. Ця властивість характеризує області Прюфера.
  • Теорема Гілмера — Гофмана. Нехай R є областю цілісності, K її полем часток, і S — цілим замиканням R у K. Тоді S є областю Прюфера якщо і тільки якщо кожен елемент K є коренем многочлена у R[X] хоч один із коефіцієнтів якого є оборотним елементом у R, (Gilmer та Hoffmann, 1975, Theorem 2).
  • Область цілісності є область Прюфера якщо і тільки якщо підмодуль кручення є прямим доданком у випадку коли він є скінченнопородженим, (Kaplansky, 1960).

Приклади

ред.

Узагальнення

ред.

Кільцем Прюфера називається комутативне кільце у якому кожен ненульовий скінченнопороджений ідеал усі елементи якого не є дільниками нуля є оборотним (тобто, проективним).

Див. також

ред.

Література

ред.
  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
  • Fontana, Marco; Huckaba, James A.; Papick, Ira J. (1997), Prüfer domains, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, т. 203, New York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-9816-1, MR 1413297
  • Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains, Mathematical Surveys and Monographs, т. 84, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1963-0, MR 1794715
  • Gilmer, Robert (1972), Multiplicative ideal theory, New York: Marcel Dekker Inc., MR 0427289
  • Gilmer, Robert; Hoffmann, Joseph F. (1975), A characterization of Prüfer domains in terms of polynomials, Pacific J. Math., 60 (1): 81—85, doi:10.2140/pjm.1975.60.81, ISSN 0030-8730, MR 0412175.