Кільце нормування

У комутативній алгебрі кільцем нормування називається область цілісності, що задовольняє деяким додатковим вимогам. Кільця нормування є пов'язаними з поняттям нормування на полі. Мають широке застосування в алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії.

ВизначенняРедагувати

Нехай R є областю цілісності з полем часток K. Тоді R називається кільцем нормування, якщо воно задовольняє будь-яку із еквівалентних умов:

  1. Для довільного ненульового елемента  , хоча б один з елементів x і x-1 належить R.
  2. Множина ідеалів R є цілком впорядкованою по відношенню включення підмножин.
  3. Множина головних ідеалів R є цілком впорядкованою по відношенню включення підмножин.
  4. Існує цілком впорядкована абелева група Γ (що називається групою нормування) і сюр'єктивний гомоморфізм груп (що називається нормуванням поля) ν:K× → Γ для якого R = { x в K× : ν(x) ≥ 0 } ∪ {0}.

Кільця нормування можна визначити ще одним способом. Локальне кільце   домінує над   якщо   і  . Відношення домінування є відношенням часткового порядку на множині підкілець поля K. Максимальні елементи цієї множини і тільки вони є кільцями нормування поля K.

Будь-яке кільце нормування R задає нормування на своєму полі часток K. При використанні першого означення нормування на полі часток можна задати так: нехай  . Позначимо природне вкладення K× в G як  . Для елементів G визначимо відношення порядку:   Тоді R стає лінійно впорядкованою групою. Додавши до неї нескінченний елемент, що більший від усіх інших елементів і довизначивши   отримаємо, що ν і є необхідним нормуванням.

ВластивостіРедагувати

  • Кільце нормування R є локальним кільцем.
  • Якщо R — кільце нормування, a   — кільце з тим же полем часток, що і R, то A також є кільцем нормування і A є локалізацією кільця R по деякому простому ідеалу.
  • Кільце нормування R є цілозамкнутим. Більш того, для довільного цілісного кільця A його ціле замикання дорівнює перетину всіх кілець нормування в його полі часток, що містять R.
  • Кільце нормування є нетеровим тоді і тільки тоді, коли нормування є дискретним, тобто кільце є кільцем дискретного нормування.
  • Якщо P є простим ідеалом кільця нормування R то і RP (локалізація по ідеалу P) і факторкільце R/P є кільцями нормування.
  • Нехай R є підкільцем поля K і   є гомоморфізмом кільця R в алгебраїчно замкнуте поле L. Тоді існує максимальне продовження гомоморфізму   де підкільце  , A є підкільцем поля K і продовження гомоморфізму на ще більші підкільця є неможливим. Для кожного такого максимального продовження кільце A є кільцем нормування.
  • Ціле замикання області цілісності у своєму полі часток є рівне перетину всіх кілець нормування, що містять цю область цілісності.

ПрикладиРедагувати

 
є кільцем нормування для поля K(x).
  • Нехай K — поле, а K[[X]] кільце формальних степеневих рядів, тобто виразів виду   Тоді K[[X]] є кільцем нормування поля формальних рядів Лорана, тобто виразів виду  
  • Для поля   раціональних чисел і довільного простого числа p, кільце нормування R можна визначити в такий спосіб:
 

Побудова кілець нормування для даної групи нормуванняРедагувати

Для даної цілком впорядкованої абелевої групи Γ і поля k, позначимо K = k((Γ)) кільце формальних степеневих рядів із степенями із групи Γ. Іншими словами елементами K є функції із Γ у k такі, що елементи Γ де значення функції не рівне нулю утворюють цілком впорядковану множину. Додавання функцій є поточковим, а множення є за конволюцією, тобто відбувається аналогічно до множення степеневих рядів:

  із правилом  

Нормування ν(f) для елемента f у K за означення є рівним найменшому елементу g групи Γ для якого f(g) не рівне нулю. Такий елемент існує зважаючи на умови впорядкованості. Множина f для яких ν(f)≥0 (разом із 0 поля K), утворюють підкільце D поля K яке є кільцем нормування щодо нормування ν і з групою нормування Γ.

Ідеали кілець нормуванняРедагувати

Множина ідеалів кільця нормування є лінійно впорядкованою щодо включення, будь-який скінченнопорождений ідеал є головним, тобто кільце нормування є кільцем Безу.

Більш повно опис будови ідеалів кільця нормування можна дати в термінах групи значень нормування. Підмножина M лінійно впорядкованої множини називається мажорною (або мажором), якщо з співвідношень   і   випливає, що  

Нехай R — кільце нормування v поля K з групою значень Γ, а Γ+ — піднапівгрупа додатних елементів у Γ і M — мажорна множина в Γ+. Відображення   є бієктивним (взаємно однозначним) відображенням множини мажорних підмножин з Γ+ на множину ідеалів кільця R. При цьому головним ідеалам відповідають мажори, що мають мінімальні елементи.

Простим ідеалам теж відповідають мажори спеціального виду, а саме: мажори виду  , де H+ — додатна частина деякої опуклої підгрупи H групи Γ, тобто підгрупи для якої, якщо   то також для всіх  таких, що  також   Таким чином, встановлюється взаємно однозначна відповідність між простими ідеалами кільця R і опуклими підгрупами групи значень G.

Нехай p — простий ідеал, що відповідає опуклій підгрупі H, тоді композиція відображень   буде нормуванням поля K з кільцем нормування   і максимальним ідеалом   Крім того, на поле   індукується нормування зі значеннями в групі H і кільцем нормування  . Тим самим нормування розщеплюється на більш прості.

Нехай R — кільце нормування, тоді простий спектр R без нуля ( ) є лінійно впорядкованою множиною і її тип називається висотою, або рангом, відповідного нормування Якщо   є скінченною множиною, то висота нормування є числом елементів в  , і це число збігається з числом опуклих підгруп групи G, що не рівні самій групі G.

Нормування скінченного рангу зводяться до нормування рангу 1. Останні характеризуються тим, що їх група значень — архімедова група, тобто ізоморфна деякій підгрупі адитивної групи дійсних чисел. В цьому випадку відображення   є ультраметричним абсолютним значенням на полі K.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
  • Cohn, P. M. (1991). Algebraic Numbers and Algebraic Functions. Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4. CRC Press. ISBN 9780412361906. 
  • Goldschmidt, David M. (2003). Algebraic Functions and Projective Curves. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0 387-95432-5. 
  • Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.