Алгебрично замкнуте поле

Алгебрично замкнуте поле — поле $\mathbb {K}$, у якому довільний многочлен ненульового степеня над $\mathbb {K}$ має хоч би один корінь.

Еквівалентні визначення

Деяке поле $\mathbb {K}$ є алгебрично замкненим, тоді і тільки тоді, коли виконуються такі твердження:

• Усі незвідні многочлени над полем $\mathbb {K}$ мають степінь 1.
• Кожен многочлен є добутком многочленів степеня 1.
• Кожне лінійне відображення $\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}$ має власний вектор.

Пов'язані визначення

• Для будь-якого поля існує єдине з точністю до ізоморфізму його алгебричне замикання, тобто його алгебричне розширення, що є алгебрично замкнутим.

Властивості

• В алгебрично замкнутому полі $\mathbb {K}$, кожен многочлен степеня n має рівно n (з урахуванням кратності) коренів $\mathbb {K}$. Інакше кажучи, кожний незвідний многочлен з кільця многочленів $\mathbb {K} [x]$ має степінь 1.
• Скінченні поля не можуть бути алгебрично замкнутими. Дійсно, якщо розглянути многочлен, коренями якого є всі елементи поля і додати 1, то одержаний многочлен не матиме коренів у даному полі.

Приклади

• Многочлен з цілими коефіцієнтами x² + 1 = 0 має тільки комплексні корені, тому ні раціональні числа, ні дійсні не є алгебрично замкнутими.
• Алгебричним замиканням поля дійсних чисел, є поле комплексних чисел. Його алгебрична замкнутість встановлюється основною теоремою алгебри.
• Алгебричним замиканням поля раціональних чисел, є поле комплексних алгебричних чисел.

Див. також

• Замикання (математика)
• Кільце многочленів

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)