Алгебраїчні числа

(Перенаправлено з Алгебраїчне число)

Алгебраїчні числа, також алгебричні числа,підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число є алгебраїчним, якщо існує многочлен

,

де і .

У цьому визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

ПрикладиРедагувати

  • Всі раціональні числа є алгебраїчними: число   є, наприклад, коренем рівняння  .
  • Уявна одиниця, число   є алгебраїчним, як корінь рівняння  .
  • Числа e, π, eπ є трансцендентними. Статус числа πe невідомий.
  • Якщо   — алгебраїчні числа, тоді   — трансцендентне число.
  • Числа   і   є алгебраїчними (кути в градусах).
Цей факт випливає з тригонометричної рівності:
 
Тому якщо визначити послідовність многочленів:
 
то   Звідси одержуємо:
  тобто   є коренем многочлена   що й доводить твердження.
Для   достатньо зазначити, що всі степені   в   є парними і що  .

Мінімальний многочленРедагувати

Якщо   — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких   є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним  . Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа  .

  • Степінь мінімального многочлена   називається степенем алгебраїчного числа  .
  • Інші корені мінімального многочлена   називаються спряженими до  .
  • Висотою алгебраїчного числа   називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого   є коренем.

Мінімальний многолен числа   має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли   — ціле алгебраїчне число.

ПрикладиРедагувати

  • Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
  • Уявна одиниця   так само як   є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно   та  .
  • При будь-якому натуральному  ,   є алгебраїчним числом  -го степеня.

Поле алгебраїчних чиселРедагувати

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо   і   — алгебраїчні числа то їх обернені елементи   і  , а також сума   і добуток   також є алгебраїчними числами.

ДоведенняРедагувати

  • Спершу доведемо алгебраїчність  . Якщо   — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого   є коренем, то   буде коренем многочлена  . Тобто   — алгебраїчне число.
  • Якщо   — корінь многочлена  , то   є коренем многочлена  , отже   теж є алгебраїчним числом.
  • Доведемо тепер алгебраїчність  . Припустимо α є коренем многочлена   і   є коренем многочлена  . Нехай   — всі корені   (враховуючи їх кратність, так що степінь   рівний  ) і нехай   — всі корені  . Розглянемо многочлен:
 .
Множина   є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти   є симетричними многочленами від чисел  . Тому якщо,  елементарні симетричні многочлени від   і   — деякий коефіцієнт (при  ) многочлена  , тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що   для деякого многочлена   з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти   також є симетричними многочленами від чисел  . Нехай   і   — елементарні симетричні многочлени від   тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени   для деякого многочлена   з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі   є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт  . Тому   і оскільки   є коренем   це число є алгебраїчним.
  • Алгебраїчність числа   доводиться аналогічно до випадку  , розглядаючи многочлен:
 .

ВластивостіРедагувати

  • Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
  • Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
  • Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
  • Для довільного алгебраїчного числа   існує таке натуральне  , що  ціле алгебраїчне число.
  • Алгебраїчне число   степеня   має   різних спряжених чисел (включаючи саме число  ).
  •   і   спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля  , що переводить   у  .
  • В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
    • Теорема Ліувіля: якщо   є коренем многочлена   степінь якого рівний  , тоді існує число   залежне від  , що
 , для довільного раціонального числа  .
    • Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо   є алгебраїчним числом, тоді для довільного   існує лише скінченна кількість пар цілих чисел   де   для яких:
 

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
  • Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
  • Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
  • Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
  • Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
  • Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
  • Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X