Ядро та образ лінійного оператора

В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора

Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина :

вона утворює лінійний підпростір в просторі

Образом лінійного відображення називається наступна підмножина :

вона утворює лінійний підпростір в просторі

Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають:

ВластивостіРедагувати

  • Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:
 

Тобто образ L є ізоморфним до факторпростору в V утвореного ядром:

 
(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).

Простори скінченної розмірності і матриціРедагувати

Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n:  

Визначення ядра матриці записується як  , тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.

Rank-nullity теоремаРедагувати

Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):

 

Число   називається рангом   і записується як   чи  

Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Основна теорема лінійної алгебриРедагувати

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва Визначення Простір в якому існує Розмірність
простір стовпців чи образ im(A) чи range(A)   r
нульпростір чи ядро ker(A) чи null(A)   n — r
простір рядків чи кообраз(англ.) im(AT) чи range(AT)   r
лівий нульпростір чи коядро(англ.) ker(AT) чи null(AT)   m — r
  • В  , тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
  • В  , тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Дивись такожРедагувати

ДжерелаРедагувати