У комутативній алгебрі, носій модуля M над комутативним кільцем A є множиною всіх простих ідеалів A для яких .[1] Ця множина позначається . Згідно з означенням носій є підмножиною спектру кільця A.

ВластивостіРедагувати

  • Якщо   є модулем над кільцем   породженим єдиним елементом   і  , то  , тобто множині усіх простих ідеалів, що містять ідеал  
Нехай   — простий ідеал у кільці  . Тоді, згідно з означенням локалізації модуля елемент   у   тоді і тільки тоді, коли існує елемент  , такий що  , тобто якщо   Відповідно для того щоб ця рівність не виконувалася (і, як наслідок, модуль   був ненульовим), необхідно і достатньо щоб   містив ідеал  , що і треба було довести.
Якщо модуль є нульовим, то і всі його локалізації є нульовими. Навпаки, якщо є хоча б один ненульовий елемент  , то як і в попередній властивості, довільний простий ідеал, що містить   належить  .
  • Якщо   є сумою підмодулів  , тоді  
Оскільки для всіх   справедливим є включення   то  
Навпаки, якщо  , то існує   для якого   не є підмножиною  . Але цей елемент належить деякому   і тоді  .
Якщо   належить носію модуля, то існує такий елемент  , що   для всіх   Але тоді   і необхідний результат отримується з того, що  .
Навпаки, якщо   — породжуюча множина модуля, то   і якщо   то також   для деякого   і тому   належить носію модуля.
  • Якщо   є скінченнопородженим A-модулем і I є ідеалом у A, тоді   є множиною всіх простих ідеалів, що містять   Ця множина є рівною  .
  • Якщо   то  
Якщо   — прості ідеали, то з властивостей локалізації  , тож якщо  , то також   і тому   теж є елементом носія модуля.
  • Нехай  точна послідовність A-модулів. Тоді
      Це об'єднання може не бути диз'юнктивним.
Згідно з властивостями локалізації, при умовах твердження послідовність   теж буде точною. З означень точної послідовності тоді   буде нульовим модулем тоді і тільки тоді, коли нульовими модулями будуть як  , так і  . Тому   належатиме   тоді і тільки тоді, коли він належатиме хоча б одній із множин   і  .
  • Якщо   є скінченнопородженими A-модулями, то
     
Для довільного простого ідеалу    . Оскільки  локалне кільце, то звідси  , тоді і тільки тоді коли   і  , що доводить твердження.
Оскільки кожен асоційований простий ідеал містить анулятор модуля, то якщо простий ідеал містить асоційований простий ідеал, то він містить анулятор і є елементом носія модуля.
При умовах твердження існує скінченна множина асоційованих простих ідеалів, перетин яких рівний радикалу анулятора. Якщо   не містить жодного з цих ідеалів, то він не містить і їх перетину і тому не містить анулятор модуля. Тоді   не належить носію модуля.

Носій квазікогерентного пучкаРедагувати

Якщо F є квазікогерентним пучком на схемі X, носій F є множиною всіх точок xX для яких локальні кільця Fx є ненульовими. Це означення є подібним до означення носія функції на просторі X, що і спричинило використання терміну "носій". Більшість властивостей носіїв дослівно переносяться із модулів на квазікогерентні пучки. Наприклад, носій когерентного пучка є замкнутим підпростором у X.[2]

Якщо M є модулем над кільцем A, тоді носій M як модуля є рівним носію асоційованого квазікогерентного пучка   на афінній схемі Spec(R). Крім того, якщо   є афінним покриттям схеми X, тоді носій квазікогерентного пучка F є рівним об'єднанню носіїв асоційованих модулів Mα над кожним Aα.[3]

ПрикладиРедагувати

  • Для скінченної комутативної групи  , що розглядається як модуль над кільцем цілих чисел,   складається з усіх простих ідеалів  , де просте число   ділить порядок групи  .
  • У випадку коли модуль не є скінченнопородженим не обов'язково кожен ідеал, що містить анулятор є елементом носія модуля. Може виконуватися строге включення  . Наприклад  ,  . Тоді  , але  . Тому нульовий ідеал належить   але не носію модуля  . Носієм є множина максимальних ідеалів кільця  .

ПриміткиРедагувати

  1. EGA 0I, 1.7.1.
  2. The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01B4. 
  3. The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01AS. 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати