Асоційований простий ідеал

В теорії кілець, асоційованим простим ідеалом модуля M над кільцем R називається простий ідеал кільця R, що є анулятором деякого підмодуля M. Особливо важливими ці ідеали є у комутативній алгебрі де вони пов'язані з так званим примарним розкладом ідеалів нетерових кілець, що, зокрема, має застосування в алгебричній геометрії.

Означення

Комутативні кільця

Нехай $R$ — комутативне асоціативне кільце з одиницею, і $M$ — модуль над $R$.

Простий ідеал ${\mathfrak {p}}\subset R$ називається асоційованим з $M$, якщо існує такий елемент $x\in M$, що ${\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})=\{r\in R|rx=0\}$.

Еквівалентно, ${\mathfrak {p}}$ є асоційованим з $M$, якщо існує ін'єктивний R-гомоморфізм між модулями $R/{\mathfrak {p}}$ і $M$. Дійсно, якщо ${\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})$, то $R/{\mathfrak {p}}$є як R-модуль є ізоморфним із $Rx.$Навпаки, якщо існує такий гомоморфізм f, то ${\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(\{f({\bar {1}})\}),$ де ${\bar {1}}$ позначає одиничний елемент у $R/{\mathfrak {p}}.$

Множина простих ідеалів, асоційованих з модулем $M$ позначається ${\textrm {Ass}}_{R}(M)$.

Мінімальні елементи в $\operatorname {Ass} _{R}(M)$ (щодо включення множин) у комутативному кільці R, називаються ізольованими простими ідеалами. Усі інші асоційовані прості ідеали називаються вкладеними простими ідеалами.

Модуль $M$ називається копримарним якщо з того що rm = 0 ( r є дільником нуля модуля $M$) для деякого ненульового $m\in M$ випливає що rⁿM = 0 для деякого натурального числа n.

Ненульовий скінченнопороджений модуль M над комутативним нетеровим кільцем є копримарним тоді і тільки тоді коли для нього існує один асоційований простий ідеал.

Дійсно, як показано нижче, у цьому випадку множина асоційованих простих ідеалів є непустою. Нехай ${\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})$ є простим ідеалом. Тоді для кожного дільника нуля r виконується rⁿM = 0 і тому rⁿx = 0. Тобто $r^{n}\in {\mathfrak {p}}$ і внаслідок простоти ідеалу, $r\in {\mathfrak {p}}.$ Тобто всі дільники нуля належать ${\mathfrak {p}}$ і внаслідок властивості нижче про те, що множина дільників нуля є об'єднанням елементів асоційованих простих ідеалів ${\mathfrak {p}}$ є єдиним таким ідеалом.

Навпаки, якщо існує єдиний асоційований простий ідеал ${\mathfrak {p}}$то з тої ж властивості випливає, що його елементами є всі дільники нуля і тільки вони. З властивості нижче випливає також, що ${\sqrt {\operatorname {ann} (M)}}={\mathfrak {p}},$що є еквівалентним твердженню.

Підмодуль N у M називається ${\mathfrak {p}}$-примарним якщо $M/N$ є копримарним із асоційованим простим ідеалом ${\mathfrak {p}}$.

Ідеал I є ${\mathfrak {p}}$-примарним ідеалом тоді і тільки тоді коли$\operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{{\mathfrak {p}}\}$.

Некомутативні кільця

Ненульовий R-модуль $N$ називається простим модулем якщо $\mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,$ для довільного підмодуля $N'$ модуля $N$ . Для простого модуля $N$, $\mathrm {Ann} _{R}(N)\,$ є простим ідеалом в $R$.

Ідеал кільця $R$ називається асоційованим простим ідеалом для R-модуля $M$, якщо він рівний $\mathrm {Ann} _{R}(N)\,$ для деякого простого підмодуля $N$ у модулі $M$ .

Властивості

• Навіть для комутативних локальних кілець, множина асоційованих простих ідеалів скінченнопородженого модуля може бути пустою. Проте в будь-якому кільці, що задовольняє умову обриву зростаючого ланцюга ідеалів (зокрема правому чи лівому нетеровому кільці) довільний ненульовий модуль має хоча б один асоційований простий ідеал.
• Для одностороннього нетерового кільця, існує сюр'єкція з множини класів ізоморфізмів нерозкладних ін'єктивних модулів на спектр $\mathrm {Spec} (R)\,$. Якщо R є кільцем Артіна, то це відображення є бієкцією.
• Теорема Матліма: Для комутативного нетерового кільця $R$, відображення у попередньому пункті завжди є бієкцією.
• Для будь-якого простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ комутативного кільця $R$ і будь-якого нетривіального підмодуля $M$ модуля $R/{\mathfrak {p}}$ має місце рівність ${\textrm {Ass}}_{R}(M)=\{{\mathfrak {p}}\}$.

Нехай $0\neq {\overline {x}}\in M$, тобто ${\overline {x}}=x+{\mathfrak {p}}$ — суміжний клас за ідеалом ${\mathfrak {p}}$, $x\not \in {\mathfrak {p}}$. Очевидно, що ${\mathfrak {p}}{\overline {x}}=0$.

Припустимо, що $r{\overline {x}}=0$. Це означає, що $rx\in {\mathfrak {p}}$. Тоді з простоти ${\mathfrak {p}}$ випливає, що $r\in {\mathfrak {p}}$. Таким чином, єдиний простий ідеал, асоційований з $M$ — це ідеал ${\mathfrak {p}}$.

• Для нетерового модуля M над будь-яким кільцем, існує лише скінченна кількість асоційованих простих ідеалів для M.

Нетерові комутативні кільця

Всюди нижче кільце $R$ є комутативним і нетеровим:

• Розглянемо множину ідеалів $I\subset R$, для яких $I={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})$ для деякого $x\in M$ для модуля $M$ над $R$. Тоді максимальні елементи цієї множини є простими ідеалами. Оскільки для ненульового модуля ця множина не є пустою (довільний елемент має свій анулятор, що може бути і нульовим ідеалом) то звідти для кожного такого модуля існує асоційований простий ідеал.

Припустимо, що такий ідеал $I={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})$ є максимальним у цій множині але не простим. Тоді існують елементи $a,b\in R$, для яких $ab\in I$ але $a,b\not \in I$ . Оскільки $b\not \in I,bx\neq 0$. Але $abx=0$. Тому, $a\in {\textrm {Ann}}_{R}(bx)$ і $a\not \in I$ . Тобто ${\textrm {Ann}}_{R}(bx)$ є строго більшим від $I$, що суперечить максимальності останнього у заданій множині.

• Кожен ідеал J є рівний перетину скінченної кількості примарних ідеалів. Запис ідеала як перетину примарних ідеалів називається примарним розкладом ідеала. Множина радикалів цих ідеалів є рівною $\mathrm {Ass} _{R}(R/J)\,$. Зокрема, ідеал J є примарним ідеалом тоді і тільки тоді, коли множина $\mathrm {Ass} _{R}(R/J)\,$ складається з одного елемента.
• Довільний мінімальний простий ідеал для ідеала J є елементом множини $\mathrm {Ass} _{R}(R/J)\,$. Множина цих ідеалів є множиною ізольованих простих ідеалів.
• Множина $\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}$ рівна множині елементів $\{r\in R\;|\;\exists \ 0\neq m\in M:rm=0\}$ (такі елементи називають дільниками нуля $M$).

З означення очевидно, що кожен елемент довільного асоційованого простого ідеала, а тому і їх об'єднання є дільником нуля $M$. Навпаки, якщо $r\in R,\;m\in M$ елементи для яких $rm=0$ то $(r)\subset {\textrm {Ann}}(m)$. Але ${\textrm {Ann}}(m)$ є підмножиною деякого максимального анулятора елемента модуля і цей ідеал є простим. Тобто $r$ належить деякому асоційованому простому ідеалу.

• Нехай S мультиплікативна система кільця $R$ і ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R),\;{\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$. Ідеал ${\mathfrak {p}}$ є асоційованим для модуля M над R, тоді і тільки тоді коли простий ідеал $S^{-1}{\mathfrak {p}}$ у локалізації кільця $S^{-1}R$ є асоційованим для модуля $S^{-1}M$.

  Якщо ${\mathfrak {p}}\in {\textrm {Ass}}_{R}(M)$ то ${\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(x)$ для деякого $x\in M$. Тоді $S^{-1}{\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{S^{-1}R}(x/1)$.

  Навпаки припустимо $S^{-1}{\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{S^{-1}R}(x/s)$ для деяких $x\in M,s\in S$. Нехай ${\mathfrak {a}}={\textrm {Ann}}_{R}(x)$. Тоді $S^{-1}{\mathfrak {a}}=S^{-1}{\mathfrak {p}}$, звідки випливає, що ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$ і оскільки кільце є нетеровим, а тому всі ідеали скінченнопородженими, то існує також $s'\in S,$ такий що $s'{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {a}}$. Тоді ${\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(s'x)$.

• Якщо $M$ є скінченнопородженим модулем над $R$, тоді існує скінченна послідовність підмодулів

$0=M_{0}\subset M_{1}\subset \cdots \subset M_{n-1}\subset M_{n}=M\,$

для якої усі фактор-модулі $M_{i+1}/M_{i}$ є ізоморфними фактор-кільцям $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ для деяких простих ідеалів ${\mathfrak {p}}_{i}$. До того ж для цих ідеалів справедливими є включення:

$\mathrm {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{0},\dotsc ,{\mathfrak {p}}_{n-1}\}\subset \mathrm {Supp} (M)$

де за означенням носій модуля $\mathrm {Supp} (M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)|M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}$. Окрім того мінімальні елементи в усіх трьох множинах є однаковими.

Оскільки для ненульового модуля існує асоційований простий ідеал ${\mathfrak {p}}_{0}$ то у цьому випадку існує підмодуль $M_{1}\subset M$ ізоморфний $R/{\mathfrak {p}}_{0}$. Далі якщо модуль $M/M_{1}$ не є нульовим то для нього можна використати ті самі аргументи і отримати модуль $M_{1}\subset M_{2}\subset M$, такий що $M_{2}/M_{1}$ є ізоморфним $R/{\mathfrak {p}}_{1}$ для якогось простого ідеала ${\mathfrak {p}}_{1}$ (що буде простим асоційованим для модуля $M/M_{1}$). Продовжуючи по індукції отримуємо зростаючу послідовність модулів, що задовольняють умови теореми. Оскільки модуль є нетеровим то цей процес завершиться за скінченну кількість кроків. Це можливо лише коли останній підмодуль у послідовності рівний $M$.

Нехай тепер ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)$. Тоді $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ тоді і тільки тоді коли для якогось ${\mathfrak {p}}_{i}$ локалізація $(R/{\mathfrak {p}}_{i})_{\mathfrak {p}}\neq 0$, тобто якщо ${\mathfrak {p}}$ містить один із ідеалів ${\mathfrak {p}}_{i}$. Звідси усі ${\mathfrak {p}}_{i}\in \mathrm {Supp} (M)$ і мінімальні елементи обох множин є однаковими.

Нехай тепер ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)$. Тоді модуль $M$ містить підмодуль $N$ ізоморфний до $R/{\mathfrak {p}}$. Нехай i — найменший індекс для якого $M_{i+1}\cap N\neq \emptyset$ . Тоді$(M_{i+1}\cap N)/M_{i}$ можна розглядати як ненульовий підмодуль модулів $M_{i+1}/M_{i}\cong R/{\mathfrak {p}}_{i}$ і $N\cong R/{\mathfrak {p}}$. Але із попередніх властивостей у цьому випадку ${\textrm {Ass}}_{R}((M_{i+1}\cap N)/M_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}$ і водночас ${\textrm {Ass}}_{R}((M_{i+1}\cap N)/M_{i})=\{{\mathfrak {p}}\}.$ Тому ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{i}$ звідки $\mathrm {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{0},\dotsc ,{\mathfrak {p}}_{n-1}\}$.

Якщо ${\mathfrak {p}}$ є мінімальним елементом $\mathrm {Supp} (M)$, то $\mathrm {Supp} (M_{\mathfrak {p}})$ відповідної локалізації містить єдиний елемент ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Оскільки $\mathrm {Ass} (M_{\mathfrak {p}})$ є непустою і міститься в $\mathrm {Supp} (M_{\mathfrak {p}})$ то ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M_{\mathfrak {p}})$ і з властивостей для асоційованих простих ідеалів для локалізації ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)$.

• Модуль $M$ над $R$ має скінченну довжину тоді і тільки тоді, коли $M$ є скінченнопородженим і елементами $\mathrm {Ass} (M)$ є лише максимальні ідеали.
• Якщо $U$ є підмодулем $M$ то $\mathrm {Ass} (U)\subset \mathrm {Ass} (M)\subset \mathrm {Ass} (U)\cup \mathrm {Ass} (M/U)$.
• Для скінченнопородженого модуля $M$

${\sqrt {\operatorname {ann} (M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Supp} (M)}{\mathfrak {p}}$

Якщо $r\in \operatorname {ann} (M),$ то очевидно $r\in {\mathfrak {p}},$ для кожного ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M).$ Отже звідси для кожного такого ідеалу $\operatorname {ann} (M)\subset {\mathfrak {p}}$ і зважаючи на простоту також ${\sqrt {\operatorname {ann} (M)}}\subset {\mathfrak {p}}.$

В іншу сторону, із попередніх властивостей існує скінченна послідовність підмодулів $0=M_{0}\subset M_{1}\subset \cdots \subset M_{n-1}\subset M_{n}=M\,$ для якої усі фактор-модулі $M_{i+1}/M_{i}$ є ізоморфними $R/{\mathfrak {p}}_{i}.$ До того ж множина мінімальних елементів у $\{{\mathfrak {p}}_{i}\}$ є рівною множині мінімальних елементів $\mathrm {Ass} (M).$ Тож якщо $r\in \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}$ то також $r\in {\mathfrak {p}}_{i}$ для всіх i і тому $rM_{i}\subset M_{i-1}.$ Зокрема $r^{n}M=0.$

Два попередні абзаци разом доводять, що ${\sqrt {\operatorname {ann} (M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}.$ Твердження для носія модуля випливає з того, що множина мінімальних елементів носія є рівною множині ізольованих простих іідеалів.

Приклади

• Якщо $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ то асоційованими простими ідеалами для $I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))$ є ідеали $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})$ і $(z^{3}-w^{3}-3x^{3})$.
• Нехай $R=\mathbb {C} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ кільце многочленів, ${\mathfrak {p}}$ — ідеал в $R$, $V$ — афінний многовид заданий цим ідеалом, $V_{1},\ldots ,V_{p}$ — незвідні компоненти $V$. Покладемо $M=R/{\mathfrak {p}}$ — афінне координатне кільце $V$, тоді прості ідеали, асоційовані з модулем $M$ це ідеали незвідних компонент $V_{1},\ldots ,V_{p}$.
• Якщо $R$ є кільцем цілих чисел, тоді нетривіальні вільні абелеві групи і нетривіальні абелеві групи порядок яких є степенем простого числа є копримарними.
• Якщо $R$ є кільцем цілих чисел і M — скінченною абелевою групою, тоді асоційованими простими ідеалами $M$ є ідеали породжені простими числами, що ділять порядок групи $M$.
• Приклад не нетерового комутативного кільця і модуля, що не має асоційованих простих ідеалів. Нехай $R=\mathbb {C} [x_{1},x_{2},...]$ — кільце многочленів над полем комплексних чисел від нескінченної кількості змінних і ідеал $I=(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},...)\subset R$ .  Тоді $\mathrm {Ass} (R/I)=\emptyset$ . Справді, припустимо простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ є анулятором деякого елемента ${\bar {f}}\in R/I$. Виберемо довільного представника цього елемента $f\in R$; тоді ${\mathfrak {p}}$ є множиною тих $g\in R$ для яких $fg\in I$.  Проте $f$ є многочленом лише від скінченної підмножини змінних $x_{i}$ , нехай $x_{1},...,x_{n}$ .  Очевидно що $x_{n+1}^{n+1}f\in I$ (тобто $x_{n+1}^{n+1}\in {\mathfrak {p}}$ ), але $x_{n+1}f\not \in I$ (тому $x_{n+1}\not \in {\mathfrak {p}}$ ). Звідси ${\mathfrak {p}}$ не є простим ідеалом.

Див. також

• Мінімальний простий ідеал
• Модуль над кільцем
• Носій модуля
• Примарний ідеал
• Примарний розклад

Джерела

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9.