Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

В абстрактній алгебрі довжина модуля — числова характеристика модуля, що деякою мірою узагальнює поняття розмірності векторного простору.

Визначення

ред.

Нехай   — модуль над кільцем  . Довжина   визначається як супремум чисел   для яких існує послідовність підмодулів:

 

Довжина позначається   або  .

Властивості

ред.
  • Довжина нульового модуля рівна 0. Довжина інших модулів є додатнім цілим числом.
  • Єдиними модулями довжина яких рівна 1 є прості модулі. В іншому випадку існує послідовність   і довжина модуля не менша 2.
  • Модуль   має скінченну довжину якщо і тільки якщо він є модулем Нетер і модулем Артіна.
  • Нехай маємо коротку точну послідовність:
 
тоді  .
  • З попереднього випливає, що якщо N — підмодуль M то
 .
Також звідси випливає формула:
 


Приклади

ред.
  • Для скінченновимірних векторних просторів поняття розмірності і довжини є еквівалентними:  .
  • Кільце  , що розглядається як модуль над самим собою, має нескінченну довжину, що демонструє наступна послідовність визначена для довільного натурального числа n :
 

Література

ред.
  • Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.