У абстрактній алгебрі фактор-модулем називається новий модуль, який можна визначити для довільного модуля над кільцем i його підмодуля. Побудова фактор-модуля є аналогом побудови факторм-ножини, фактор-групи, фактор-кільця і фактор-простору.

Означення

ред.

Нехай дано (лівий) модуль   над кільцем   і його підмодуль  . На   можна ввести відношення еквівалентності:

  якщо і тільки якщо  

для будь-яких  . Елементами множини   є класи еквівалентності

 .

Сума двох класів еквівалентності у   є класом еквівалентності еквівалентності суми представників двох класів; в схожий спосіб можна ввести множення на елементи  . Конкретно:

  i
 

для будь-яких   і  .

Таким чином   отримує структуру модуля над   Цей модуль називається фактор-модулем модуля   по підмодулю  .

Приклади

ред.
  • M/M є тривіальним модулем {0}.
  • M/{0} є ізоморфним M.
  • Нехай  — кільце дійсних чисел i  кільце многочленів з дійсними коефіцієнтами, що, очевидно, є  -модулем. Розглянемо підмодуль
 
модуля   тобто підмодуль всіх многочленів, що діляться на  . Відношення еквівалентності для цих модулів задається як:
  якщо і тільки якщо залишки від ділення   і   на   є однаковими.
Зокрема у фактор-модулі   многочлен   переходить у той же клас, що і   i фактор-модуль можна розглядати як похідний від   при ототожненні  . Фактор-модуль   є ізоморфним із дійсним векторним простором комплексних чисел.

Властивості

ред.
  • Фактор-модуль   є гомоморфним образом модуля   для гомоморфізма ядро якого є рівним   і яке можна записати як
 .
Відображення   називається проєкцією модуля   на фактор-модуль  .
  • Теореми про ізоморфізми: для двох підмодулів   модуля  :
     .
для підмодуля   виконується
 .
  • Кожен гомоморфізм R-модулів   ядро якого містить N у єдиний спосіб розкладається через M/N, тобто існує єдиний гомоморфізм R-модулів   для якого  .
Навпаки, нехай існує R-модуль P і сюр'єктивний гомоморфізм   Якщо для кожного гомоморфізма R-модулів   ядро якого містить N існує єдиний гомоморфізм   для якого   то  . Таким чином дана властивість повністю характеризує фактор-модуль. Вона називається універсальною характеристикою модуля.
  • Фактор-модулями скінченнопороджених модулів і модулів скінченної довжини є скінченнопороджені модулі і модулі скінченної довжини.
  • Нехай   — два модулі над комутативним кільцем   і   — їх підмодулі. Тоді для тензорного добутку виконується властивість   де   — підмодуль у   породжений елементами виду   і   для довільних  
  • Якщо   — мультиплікативна множина у комутативному кільці   то для локалізації  
  • Якщо   є  -алгеброю (асоціативною з одиницею), то
     ,
де   є образом   у  .
  • Якщо   є (двостороннім) ідеалом у  , то фактор-модуль   є фактор-кільцем  .

Література

ред.
  • Dauns, John (1994). Modules and rings. Cambridge University Press. ISBN 9780521462587.
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.